Examen Parcial - 61.08. Álgebra II
Cátedra: Todas
Fecha: 2º Oportunidad - (2º Cuatrimestre 2006)
Punto I
(a)Definir un producto interno en 
que verifique:
, 
y 
.
(b) Sea 
, definida por 
, donde 
y el producto interno que se considera es el definido en (a). Hallar todos los 
que satisfacen la condición: 
.
Punto II
(a) Sean 
y 
tales que 
y ![<tex>BA= \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 1\\2 & 0 & 1 & 2\\1 & 1 & 0 & 1\\ \end{array} \right]</tex>](lib/plugins/latex/images/20afd5d9479bb7b03fbb298d4c5cb9bef2d96b34_0.png "<tex>BA= \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 1\\2 & 0 & 1 & 2\\1 & 1 & 0 & 1\\ \end{array} \right]</tex>")
. Hallar las matrices de proyección sobre el 
y 
.
(b) Sea 
definida de la siguiente manera: 
con 
la única solución por cuadrados mínimos de la ecuación 
, donde ![<tex>A^T= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]</tex>](lib/plugins/latex/images/9165de437fa2f3910d548fa74bcd5a7bacbb78aa_0.png "<tex>A^T= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]</tex>")
. Probar que T es una transformación lineal y hallar la representación matricial de T en las bases canónicas.
Punto III
Sea 
tal que ![<tex>[f]_{BB'}= \left[ \begin{array}{ccc} \alpha & 1 & \alpha +1\\\alpha & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\2 \alpha & 2 \alpha & \alpha \\ \end{array} \right]</tex>](lib/plugins/latex/images/0931c63e5908438f917c7af24d754b0775686e64_0.png "<tex>[f]_{BB'}= \left[ \begin{array}{ccc} \alpha & 1 & \alpha +1\\\alpha & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\2 \alpha & 2 \alpha & \alpha \\ \end{array} \right]</tex>")
con 
y 
.
(a) Hallar los valores de 
para los que existen 
con 
y 
.
(b) Para 
, hallar un subespacio 
de 
tal que la suma de con 
sea directa y 
.
Punto IV
Sea 
y sea 
definida por 
.
(a) Probar que 
es una transformación lineal y hallar una base de 
.
(b) Determinar si existe 
tal que 
.
