Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 14 de Diciembre de 2005
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Resolución
- Discusión

Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 14 de Diciembre de 2005

Cátedra: Indistinta
Fecha: 3° Oportunidad - 2° Cuatrimestre 2005
Día: 14/12/2005
Tema: 1.

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Sea $<tex>B= \left\{ v_1; v_2 \right\}</tex>$ base de un $<tex>\mathbf{R}</tex>$ -espacio vectorial $<tex>V</tex>$ . Definir un producto interno en $<tex>V</tex>$ que verifique simultáneamente:
i) $<tex>\left( v_1 + v_2, v_1 - v_2 \right) = 0</tex>$
ii) $<tex> {\left( gen \left\{ v_1 - 2v_2 \right\} \right)}^\perp = gen \left\{ v_1 \right\}</tex>$
iii) $<tex> \left\| v_1 \right\| = \sqrt{2}</tex>$ .

b)

Sea $<tex>T \in \mathcal{L} (V)</tex>$ , definida por $<tex>T(v) = \mathcal{P_S}v-\mathcal{P}_{\mathcal{S}^\perp}v</tex>$ , donde $<tex>\mathcal{S} = gen \left\{ v_1 + v_2 \right\}</tex>$ y el producto interno que se considera es el hallado en (a). Probar que para todo $<tex>v\in V,\ \left\| T (v) \right\| = \left\| v \right\|</tex>$ y hallar $<tex>[T]_B</tex>$ .

Punto II

a)

Sean $<tex>A \in \mathbf{R}^{n \times m}</tex>$ y $<tex>B \in \mathbf{R}^{n \times k}</tex>$ tales que $<tex>A^TB=\mathbf{0}</tex>$ . Probar que $<tex>\mathrm{Rango}(A)+\mathrm{Rango}(B) \leq n</tex>$ .

b)

Sean $<tex>A \in \mathbf{R}^{m \times 4}</tex>$ y $<tex>B \in \mathbf{R}^{3 \times m}</tex>$ tales que $<tex>\mathrm{Rango}(A)=2</tex>$ y $<tex>BA= \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right]</tex>$ . Hallar la matriz de proyección sobre $<tex>\mathrm{Nul}(A)</tex>$ .

Punto III

Sea $<tex>f \in \mathcal{L} \left( \mathcal{P}_2, \mathbf{R}^{2\times2} \right) </tex>$ tal que $<tex>[f]_{BB'} = \left[ \begin{array}{rrr} \alpha & 1 & \alpha +1\\ \alpha & 1 & 0\\ 2\alpha & 2\alpha & \alpha \end{array} \right]</tex>$ , con $<tex>B= \left\{ 1; t; t^2 \right\}</tex>$ y $<tex>B' = \left\{ E_{11}: E_{12}; E_{21}; E_{22} \right\}</tex>$ con $<tex>E_{ij}</tex>$ la matriz cuayas componentes son nulas salvo la de la posición $<tex>ij</tex>$ que es 1.

a)

Hallar los valores de $<tex>\alpha</tex>$ para los que existen $<tex>p,q \in \mathcal{P}_2</tex>$ con $<tex>p\neq q </tex>$ y $<tex>f(p) = f(q) = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0\\ \alpha -1 & 2\alpha-2 \end{array} \right]</tex>$ .

b)

Para $<tex>\alpha=1</tex>$ , hallar un subespacio $<tex>\mathcal{S}</tex>$ de $<tex>\mathcal{P}_2</tex>$ tal que la suma de $<tex>\mathcal{S}</tex>$ con $<tex>\mathrm{Nu}(f)</tex>$ sea directa y $<tex>f(\mathcal{S})=\mathrm{Im}(f)</tex>$ .

Punto IV

a)

Sea $<tex>V = \left\{ f\colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\colon f(t)=p(t)e^{-t^2},\ \mbox{ $p$ un polinomio} \right\}</tex>$ y, para $<tex>f \in V</tex>$ , sea $<tex>L (f)= f'+2tf</tex>$ . Probar que $<tex>L \in \mathcal{L} (V)</tex>$ y que es sobreyectiva. Hallar $<tex>\mathrm{Nu}(L)</tex>$ .