Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 19 de Noviembre de 2005
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Resolución
- Discusión

Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 19 de Noviembre de 2005

Cátedra: Indistinta
Fecha: 3° Oportunidad - 2° Cuatrimestre 2005
Día: 19/11/2005.
Tema: 2.

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Sea $<tex>V</tex>$ un $<tex>\mathbf{R}</tex>$ -espacio vectorial de dimensión 2 con producto interno $<tex>(\cdot\, ;\cdot)</tex>$ . Sean $<tex>v_1</tex>$ y $<tex>v_2</tex>$ en $<tex>V</tex>$ tales que $<tex>\left\| v_1 \right\| = \left\| v_2 \right\| = \sqrt{2}</tex>$ y $<tex> \left ( v_1; v_2 \right) = -1</tex>$ y sea $<tex>\mathcal{S} = gen\left\{ v_1-v_2\right\}</tex>$ .

a)

Probar que $<tex>\left\{ v_1, v_2\right\}</tex>$ es base de $<tex>V</tex>$ y hallar $<tex>\mathcal{S}^\perp</tex>$ .

b)

Hallar todos los $<tex>v \in V</tex>$ cuya distancia a $<tex>\mathcal{S}</tex>$ es $<tex>\sqrt{2}</tex>$ .

Punto II

a)

Sea $<tex>A \in \mathbf{R}^{n\times m}</tex>$ . Probar que si $<tex>P_1</tex>$ y $<tex>P_2</tex>$ son, respectivamente, las matrices de proyección a $<tex>\mathrm{Col}(A)</tex>$ y a $<tex>{\mathrm{Nul}(A)}^\perp</tex>$ , entonces $<tex>A=P_1A=AP_2</tex>$ .

b)

Considere el sistema $<tex>Ax=b</tex>$ , con $<tex>A \in \mathbf{R}^{n \times n}</tex>$ y $<tex>b \in \mathrm{Col}(A)</tex>$ . Probar que existe un único $<tex>x_0 \in {\mathrm{Nul}(A)}^\perp</tex>$ tal que $<tex>Ax_0 =b</tex>$ .

Punto III

Sea $<tex>B= \left\{ v_1; v_2; v_3 \right\}</tex>$ una base de $<tex>V</tex>$ .

a)

Determinar todos los valores de $<tex>\beta</tex>$ para los que existe una única $<tex>T \in \mathcal{L} \left( V, \mathcal{P}_2 \right)</tex>$ que verifique $<tex>T \left( v_1+v_2+2v_3 \right)=1-t-\beta t^2,\ T\left( \beta v_1+ v_2+2v_3 \right) = -\beta + t +2t^2</tex>$ y $<tex>T \left( 2v_1 +v_2 + \beta v_3 \right)= 3-t+4t^2</tex>$ . Para esos valores de $<tex>\beta</tex>$ hallar bases de $<tex>\mathrm{Nu}(T)</tex>$ e $<tex>\mathrm{Im}(T)</tex>$ .

b)

Hallar entre los valores de $<tex>\beta</tex>$ encontrados en (a), aquellos para los cuales la ecuación $<tex>T(v)=1+2t^2</tex>$ admite más de una solución.

Punto IV

a)

Sea $<tex>T \in \left( \mathcal{P}_n \right),\ n \in \mathbf{N}_0</tex>$ , definida por $<tex>T(f)=f'+\alpha f\ (\alpha \in \mathbf{C})</tex>$ . Probar que $<tex>T</tex>$ es biyectiva si y sólo si $<tex>\alpha \neq 0 </tex>$ . Para $<tex>n=1</tex>$ y $<tex>\alpha =1</tex>$ , hallar la representación matricial de $<tex>T^{-1}</tex>$ en la base $<tex>{t;1}</tex>$ .