Examen Parcial - 61.08. Álgebra II
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  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV

Examen Parcial - 61.08. Álgebra II

Cátedra: Curso 01 Fecha: 1º Oportunidad - (1º Cuatrimestre|Invierno) 2007
Día: 10/05/2003

Punto I

Sea $<tex>V=\{f:R \to R:f=c_1f_1+c_2f_2+c_3f_3\}</tex>$ con $<tex>f_1(t)=2+t+t^2</tex>$ , $<tex>f_2(t)=2+ \alpha t+t^2</tex>$ y $<tex>f_3(t)= \alpha + 2t+t^2</tex>$ . Se pide:

(a) Determinar todos los valores de $<tex>\alpha</tex>$ para los que está bien definida $<tex>T \in \mathcal{L} (V,R^3)</tex>$ tal que $<tex>T(f_1)=[1, 1, 1]^T</tex>$ , $<tex>T(f_2)=[1,,-1,1]</tex>$ y $<tex>T(f_3)=[2,0,2]^T</tex>$ . Para esos valores de $<tex>\alpha</tex>$ hallar bases de $<tex>Nu(T)</tex>$ e $<tex>Im(t)</tex>$ .

(b) para la transformación lineal $<tex>T</tex>$ del punto a, con $<tex>\alpha =-1</tex>$ , decidir para qué valores de $<tex>\lambda</tex>$ existirán bases $<tex>B</tex>$ de $<tex>V</tex>$ y $<tex>B'</tex>$ de $<tex>R^3</tex>$ tales que $<tex>[T]_{BB'}= \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ \lambda -1 & \lambda +2 & 1 \end{array} \right]</tex>$ . Encontrar $<tex>B</tex>$ y $<tex>B'</tex>$ .

Punto II

(a) Encontrar $<tex>A \in R^{3x3}</tex>$ tal que $<tex>[0,-1,1]A=0</tex>$ y $<tex>A</tex>$ admita una descomposición $<tex>QR</tex>$ normalizada $<tex>A=QR</tex>$ con $<tex>R= \left[ \begin{array}{ccc} 2 \sqrt{2} & \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\\ 0 & \sqrt{3} & 2 \sqrt{3}\\ \end{array} \right]</tex>$ . Es única?

(b) Hallar, para la matriz $<tex>A</tex>$ de a, la matriz de proyección sobre $<tex>[Col(A)]^{\perp}</tex>$ .

Punto III

(a) Demostrar que $<tex>(p,q)=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)</tex>$ es producto interno en $<tex>\mathcal{P} _2</tex>$ pero no en $<tex>\mathcal{P} _3</tex>$

(b) Hallar los valores de $<tex>\alpha</tex>$ y $<tex>\beta</tex>$ para que $<tex>p = \alpha (t-1) + \beta (t^2-1)</tex>$ se encuentre lo más cerca posible de $<tex>q=t^2</tex>$ , considerando el producto interno definido en a.

Hallar $<tex>A \in R^{3x3}</tex>$ tal que $<tex>P= \left[ \begin{array}{cc} 1/2 & 1/2\\ 1/2 & 1/2 \\ \end{array} \right]</tex>$ proyecte sobre $<tex>Col(A)</tex>$ ; $<tex>Nul(A)= \{x \in R^3 : x_1+x_2 =0 \}</tex>$ y $<tex>Max_{\|x\|=1} \|Ax\|=2</tex>$ .

Punto IV

Sea $<tex>T \in \mathcal{L} (R^3, \mathcal{P} _2</tex>$ tal que $<tex>[T]_{EB}= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0\\ -2 & 1 & 3\\ \lambda ^2 & 4 \lambda +3 & 1 \end{array} \right]</tex>$ con $<tex>E</tex>$ la base canónica de $<tex>R^3</tex>$ y $<tex>B=\{t^2+1;t^2+t;t^2\}</tex>$ . Se pide:

(a) i) Hallar los valores de $<tex>\lambda</tex>$ para que $<tex>T</tex>$ sea inversible. ii)Para $<tex>\lambda = -1</tex>$ justificar que $<tex>T</tex>$ es biyectiva, explicar cómo se obtiene $<tex>[T^{-1}]_{EE'}</tex>$ a partir de $<tex>[T]_{EB}</tex>$ (Con $<tex>E'</tex>$ la base canónica de $<tex>\mathcal{P}_2</tex>$ y calcular $<tex>T^{-1}(p)</tex>$ para $<tex>p=4t^2+3t</tex>$ .

(b) Hallar los valores de $<tex>\lambda</tex>$ para que existan al menos dos $<tex>x \in R^3</tex>$ distintos, tales que $<tex>T(x)=-2t+1</tex>$ .

El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos, entre los cuales debe figurar uno del ejercicio 1 ó 4 y uno del 2 ó 3. Justificar todas las respuestas.