Examen Final - 61.08. Álgebra II A - 07/08/2008
- Enunciado
  - Punto 1
  - Punto 2
  - Punto 3
  - Punto 4
  - Punto 5
- Resolución
- Discusión

2008

Cátedra: Indistinta
Fecha: 4º Oportunidad - Invierno 2008
Día: 07/08/2008

Resolver el problema $<tex>\left\{ \begin{array}{cl} (i) & \sen^2(t) y'(t) + \sen(2t)y(t) = \ln \left( t^2-1 \right)\\ (ii) & y(2)=0 \end{array} \right.</tex>$ , especificando dominio de existencia y unicidad de la solución.

Punto 2

Sea $<tex>B= \left\{ v_1, v_2, v_3 \right\}</tex>$ una base de un $<tex>\mathbf{R}</tex>$ -espacio vectorial $<tex>V</tex>$ y sea $<tex>T \in \mathcal{L}(V)</tex>$ tal que $<tex>T \left( v_1 \right) = 2(1+s)v_1 + 2sv_3</tex>$ , $<tex>T\left(v_2\right) = sv_1 + 2v_2</tex>$ y $<tex>T\left(v_3\right) = (s-2)v_1 + sv_3</tex>$ . Hallar todos los $<tex>s \in \mathbf{R}</tex>$ para los cuales existe una base de $<tex>V</tex>$ compuesta por autovectores de $<tex>T</tex>$ y exhibir una de esas bases (en términos de la base $<tex>B</tex>$ ).

Punto 3

Sea $<tex>A \in \mathbf{R}^{2\times2}</tex>$ la matriz de proyección sobre $<tex>S = \left\{ x \in \mathbf{R} : x_1+x_2 = 0 \right\}</tex>$ y sea $<tex>Q\colon \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}</tex>$ la forma cuadrática dada por $<tex>Q(x)=x'Ax</tex>$ . Determinar, si existen, $<tex>\mathrm{m\acute{a}x}_{Q(x)=2} \left( {\|x\|}^2 \right)</tex>$ y $<tex>\mathrm{m\acute{\i}n}_{Q(x)=2} \left( {\|x\|}^2 \right)</tex>$ y los puntos donde se alcanzan estos valores.

Punto 4

Encontrar la solución del sistema $<tex>\left\{ \begin{array}{rcl} x_1'(t) &=& x_3(t) + \cosh t\\ x_2'(t) &=& x_2(t) + f(t)\\ x_3'(t) &=& x_1(t) + \senh t \end{array} \right.</tex>$ donde la función $<tex>f\colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}</tex>$ verifica $<tex>f''(t) +4f(t) = t,\ f(0)=0,\ f'(0)=\frac{1}{4}</tex>$ .

Punto 5

Dada $<tex>A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -2 & \phantom{-}0\\ 1 & \phantom{-}1 & -1\\ 1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1\end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 2\\ 0 & 0\end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \phantom{-}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right]</tex>$ , hallar la matriz de proyección sobre el espacio ortogonal a $<tex>\mathrm{Col}(A)</tex>$ y calcular $<tex>A</tex>$ .

Justifique todas sus respuestas. Numere las hojas y firme al final del examen.
El examen se aprueba resolviendo correctamente 3 (tres) ejercicios.

Resolución

Punto 1

Yo lo resolvi de esta manera..

El tema pasa por recordar una de las viejas propiedades de trigonometria:

sen(t+u) = sen(t)cos(u) + sen(u)cos(t)

Entonces sen(2t) = sen(t)cos(t) + sen(t)cos(t) = 2sen(t)cos(t)

Luego la derivada de sen²(t) si la calculamos con una sustitución de sen(t)=v y dv = d(sen(t)) = cos(t) quedaria:

d(v²) = 2v dv = 2sen(t) d(sen(t)) = 2sen(t)cos(t) = sen(2t)

Por lo tanto la ec diferencial se reduce a:

sen²(t)y'(t) + sen(2t)y(t) = [sen²(t)y(t)]' = ln(t²-1)

Integrando en ambos miembros queda… sen²(t)y(t) = ∫ln(t²-1)dt

Por lo tanto.. y(t) = [∫ln(t²-1)]/sen²(t) = {2[ln(t²-1)-2] + ln(t+1) - ln(t-1) + c} / sen²(t)

Luego c = -3ln(3)+4 –> c = -ln(27)+4

Quedaria y(t) = {2[ln(t²-1)-2] + ln(t+1) - ln(t-1) - ln(27) + 4} / sen²(t)

Finalmente agrupando logaritmos

y(t) = ln[(t²-1)²(t+1)/27(t-1)] / sen²(t)

sabiendo que (t²-1)=(t+1)(t-1)…

y(t) = ln[(t+1)³(t-1)/27] / sen²(t)

Comment: Ya se.. es una expresion horriblee en ambas formas.. pero la probe diferenciandola y encaja perfectamente como solución

Discusión

Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.

Bueno, si ven algo incorrecto lo discutimos para corregirlo

«El Tano»