Examen Final - 61.08. Álgebra II A - 07/03/2008
Cátedra: Indistinta
Fecha: 5º Oportunidad - 2º Cuatrimestre 2008
Día: 07/03/2008
Enunciado
Punto 1
a)
Sea 
y sea 
tal que 
y 
si 
. Probar que si 
, entonces 
es base de 
.
b)
Sea 
tal que ![<tex>[T]_{EB} = \left( \begin{array}{ccc} \alpha +1 & 1 & 0 \\ - \alpha - 1 & 0 & 0 \\ \alpha +1 & 0 & -1 \end{array} \right)</tex>](lib/plugins/latex/images/971728b26a04d6884dc0f95ef5f5e65d3dc1444c_0.png "<tex>[T]_{EB} = \left( \begin{array}{ccc} \alpha +1 & 1 & 0 \\ - \alpha - 1 & 0 & 0 \\ \alpha +1 & 0 & -1 \end{array} \right)</tex>")
con 
la base canónica y 
. Hallar todos los valores de 
para los cuales existe una base 
tal que ![<tex>[T]_{B'}</tex>](lib/plugins/latex/images/4098bfd733886eb8cc791eb0864b2ae36e654953_0.png "<tex>[T]_{B'}</tex>")
es diagonal.
Punto 2
a)
Probar que si 
es simétrica y 
, entonces
.
b)
Definir un producto interno 
en 
tal que 
, 
para 
y 
si 
y 
Punto 3
a)
Sea 
simétrica tal que 
. Determinar, justificando la respuesta, qué clase de curva define 
.
b)
Hallar la representación matricial en la base canónica de la transformación lineal 
, definida como: dado 
, entonces 
si 
es el vector de menor norma que satisface 
.
Punto 4
a)
Hallar la solución general del siguiente sistema: 
.
b)
Hallar todas las soluciones de: 
que tienen límite finito cuando 
.
Resolución A
Punto 2
a)
es simetrica, por lo tanto 
Como es simetrica, entonces se puede diagonalizar ortogonalmente.
Y el enunciado nos da el dato de :
Los unicos avas que cumplen eso son : 
y 
Si y son sus autovalores, entonces:
Y como demostre que :
y que 
entonces A es matriz de proyeccion.
b)
Para una forma cuadratica de la forma 
con simetrica y definida positiva, la forma cuadratica define un producto interno. Entonces puedo definir una matriz
.
Del dato de que 
con 
resuelvo
Hago lo mismo con los canónicos
Y obtengo que 
Despejando de la otra ecuacion queda que 
Del dato que 
, como estoy en norma 1, se que 4 sera el autovalor máximo, por lo tanto raíz máxima del polinomio caracteristico de 
como 
satisface la ecuacion por ser autovector, y tenemos que 
ahi despeje a y c y obtuve 
por lo tanto la matriz que genera el producto interno es
Solo falta multiplicar la matriz por los vectores genericos para obtener 
Punto 3
a)
Sabemos que:
Como 
entonces los signo de 
y 
son diferentes.
Hago el cambio de variables para eliminar los productos cruzados:
y me queda:
Igualo a cero:
Con lo cual nos quedan dos rectas:
y 
Resolución B
Punto 1
a)
H)
y si
T)
es base de
Es decir, son LI y generan
D)
Ni 
ni 
ni 
son nulos, y
Luego, , y son autovectores de .
Por otro lado, como 
, 
, 
, el conjunto 
es LI.
¿Cómo se si 
es base?
O sea, ¿cómo se si genera
Pues bien, 
y como 
genera y por tanto es base.
Entonces:
Si 
es LI 
es LI.
sub-T)
LI.
AT) (antítesis)
Supongamos que es LD. Entonces:
con 
no todos cero.
En general, cada uno de estos tres polinomios tiene dos soluciones distintas, 
y 
, tal que:
con 
Pero entonces cada 
puede tomar sólo dos valores, y como 
hemos llegado a un absurdo.
El conjunto es LI y entonces también lo es .
Pero, ¿genera ?
Veamos: 
pues 
y 
y 
y 
Además, 
y entonces es base de QUOD ERAT DEMONSTRANDUM.
b)
Entonces 
y por tanto los avales de 
son los de 
con igual mg y ma.
Más aún, como debe ser diagonal, contiene a los avales de en su diagonal. Dichos avales son:
pues es triangular.
Para que 
se cumpla, debe ser diagonalizable. Para ello, o bien:
o bien:
y 
o bien:
y 
(Faltan ver las condiciones sobre en los dos últimos casos).
Punto 2
a)
H)
T)
D)
Como 
con 
y si
Entonces:
Si 
:
o bien 
En resumen: cada puede ser ó 0 ó 1.
![<tex>\begin{array}[b]{rcl} A^T & = & A\\ A & = & UDU^T\\ A^T & = & UD^TU^T = UDU^T \end{array} \mbox{ pues } D \mbox{ es diagonal.}</tex>](lib/plugins/latex/images/b5b659b0be0e824b0b2b51b6ea5fe8e553421159_0.png "<tex>\begin{array}[b]{rcl} A^T & = & A\\ A & = & UDU^T\\ A^T & = & UD^TU^T = UDU^T \end{array} \mbox{ pues } D \mbox{ es diagonal.}</tex>")
pues 
, entonces 
y entonces 
Como 
es matriz de proyección, y proyecta sobre 
c.q.d.
b)
Para definir un PI en puedo usar una matriz simétrica y definida positiva, 
¿Cómo garantizo esto?
![<tex>\begin{array}{rcl} x^TAx & = & x^TUDU^Tx\\x^TAx & = & y^TDy \mbox{ con } y=U^Tx \Rightarrow y^T=x^TU\\ & = & \left[\begin{array}{cc} y_1 & y_2 \end{array}\right] \left( \begin{array}{cc} \lambda_1\\ & \lambda_2 \end{array} \right) \left[ \begin{array}{c} y_1\\ y_2 \end{array} \right]\\ & = & \lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2 \mbox{ con } \lambda_i \mbox{ aval de } A\end{array}</tex>](lib/plugins/latex/images/59eaab24ba24040a3005c73c9f141c66a7107cf9_0.png "<tex>\begin{array}{rcl} x^TAx & = & x^TUDU^Tx\\x^TAx & = & y^TDy \mbox{ con } y=U^Tx \Rightarrow y^T=x^TU\\ & = & \left[\begin{array}{cc} y_1 & y_2 \end{array}\right] \left( \begin{array}{cc} \lambda_1\\ & \lambda_2 \end{array} \right) \left[ \begin{array}{c} y_1\\ y_2 \end{array} \right]\\ & = & \lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2 \mbox{ con } \lambda_i \mbox{ aval de } A\end{array}</tex>")
Si 
, entonces:
![<tex>\mbox{Aclaraci\'on: } \begin{array}[t]{rcl} y^Ty & = & {\left( U^Tx \right)}^T U^Tx\\y^Ty & = & x^T UU^T x\\y^Ty & = & x^Tx = 1\end{array}</tex>](lib/plugins/latex/images/7fada195d61a29bd0d6c4b546567b30a1c87bcfc_0.png "<tex>\mbox{Aclaraci\'on: } \begin{array}[t]{rcl} y^Ty & = & {\left( U^Tx \right)}^T U^Tx\\y^Ty & = & x^T UU^T x\\y^Ty & = & x^Tx = 1\end{array}</tex>")
Con 
, el máximo impuesto es igual al valor del máximo aval de . Dicho aval, 
, debe ser 4.
Por otro lado, como y es def. positiva, sus avales y 
deben ser mayores a cero.
OK
, entonces 
.
![<tex>\begin{array}{rcl} \left\langle u ; u \right\rangle = 8 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array} \right] \left( \begin{array}{cc} a & b\\ b & c \end{array} \right) \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array} \right] &=& \left[ \begin{array}{cc} a+b & b+c \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array} \right]\\ & = & a+b+b+c = 8\\ & = & a+c + 2b =8 \end{array}</tex>](lib/plugins/latex/images/c5adb3f4c60989a30fb8a96fa04791d1b7c5729f_0.png "<tex>\begin{array}{rcl} \left\langle u ; u \right\rangle = 8 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array} \right] \left( \begin{array}{cc} a & b\\ b & c \end{array} \right) \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array} \right] &=& \left[ \begin{array}{cc} a+b & b+c \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array} \right]\\ & = & a+b+b+c = 8\\ & = & a+c + 2b =8 \end{array}</tex>")
![<tex>\begin{array}{rcl} \left\langle e_1 ; e_1 \right\rangle + \left\langle e_2;e_2 \right\rangle &=& 6\\e_1^TAe_1+e_2^TAe_2 &=& 6\\\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array} \right] \left( \begin{array}{cc} a & b\\ b & c \end{array} \right) \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array} \right] \left( \begin{array}{cc} a & b\\ b & c \end{array} \right) \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right]&=& 6\\\left[ \begin{array}{cc} a & b \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} b & c \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right]&=& 6\\a+c &=& 6\\4+\lambda_m &=& 6\\\lambda_m &=& 2 \end{array}</tex>](lib/plugins/latex/images/c81554fbcb450ad9f454312621aeb1f05d76c3f9_0.png "<tex>\begin{array}{rcl} \left\langle e_1 ; e_1 \right\rangle + \left\langle e_2;e_2 \right\rangle &=& 6\\e_1^TAe_1+e_2^TAe_2 &=& 6\\\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array} \right] \left( \begin{array}{cc} a & b\\ b & c \end{array} \right) \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array} \right] \left( \begin{array}{cc} a & b\\ b & c \end{array} \right) \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right]&=& 6\\\left[ \begin{array}{cc} a & b \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} b & c \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right]&=& 6\\a+c &=& 6\\4+\lambda_m &=& 6\\\lambda_m &=& 2 \end{array}</tex>")
Ahora supongamos que 
y que 
, se cumple que 
, y queda: 
.
Punto 3
a)
![<tex>\begin{array}[b]{rcl}A&=&A^T\\\Rightarrow A&=& UDU^T\end{array} \mbox{ con } U^T=U^{-1} \mbox{ y } D=\left(\begin{array}{cc} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \end{array}\right)</tex>](lib/plugins/latex/images/0b61ee565ad88b6e797db2e7b0ab85edd053d271_0.png "<tex>\begin{array}[b]{rcl}A&=&A^T\\\Rightarrow A&=& UDU^T\end{array} \mbox{ con } U^T=U^{-1} \mbox{ y } D=\left(\begin{array}{cc} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \end{array}\right)</tex>")
con aval de
Además, es 
, y como 
, 
, y como 
, uno de los avales es positivo y el otro es negativo, con lo cual la ecuación 
resulta (con 
y 
):
ó 
Vemos también que 
está igualado a cero.
La curva es, pues, una hipérbola degenerada en dos rectas.
b)
![<tex>A=U_r D_{r\times r} V_r^T \mbox{ con } \begin{array}[t]{r@{=}ccl} U_r & \left[ \parbox{30pt}{\centering BON de Col($A$)} \right] &\in& \mathbf{R}^{3\times1}\\D_{r\times r} & \sigma &\in& \mathbf{R}^{1\times1}\\V_r & \left[ \parbox{30pt}{\centering BON de Fil($A$)} \right] &\in& \mathbf{R}^{2\times1}\end{array}</tex>](lib/plugins/latex/images/2a420cbb79e0465092aba956207916b228e1b868_0.png "<tex>A=U_r D_{r\times r} V_r^T \mbox{ con } \begin{array}[t]{r@{=}ccl} U_r & \left[ \parbox{30pt}{\centering BON de Col($A$)} \right] &\in& \mathbf{R}^{3\times1}\\D_{r\times r} & \sigma &\in& \mathbf{R}^{1\times1}\\V_r & \left[ \parbox{30pt}{\centering BON de Fil($A$)} \right] &\in& \mathbf{R}^{2\times1}\end{array}</tex>")
![<tex>A=\frac{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right]}{\sqrt{6}} \sigma \frac{\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array} \right]}{\sqrt{2}}</tex>](lib/plugins/latex/images/6a9b868fba4e7917132972522d6d44aabacdde4f_0.png "<tex>A=\frac{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right]}{\sqrt{6}} \sigma \frac{\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array} \right]}{\sqrt{2}}</tex>")
donde 
, donde 
es un aval distinto de cero de 
.
![<tex>A^TA= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2\\ 1 & -1 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & -1\\ 2 & 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 6 & 6\\ 6 & 6 \end{array} \right]</tex>](lib/plugins/latex/images/ebf6733c5f934d6ee23a10f3f04a80fe892370c7_0.png "<tex>A^TA= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2\\ 1 & -1 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & -1\\ 2 & 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 6 & 6\\ 6 & 6 \end{array} \right]</tex>")
Es claro que 
. Entonces 
es aval de . Además:
Luego, 
y entonces:
![<tex>A=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}\sqrt{6}} \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array} \right]</tex>](lib/plugins/latex/images/a9f118bbfb7f3d9485fd74aa6e50219d76d99ae1_0.png "<tex>A=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}\sqrt{6}} \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array} \right]</tex>")
![<tex>A^\dagger = V_r \sigma^{-1} U_r^T = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \frac{1}{\sqrt{12}\sqrt{2}\sqrt{6}} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \end{array} \right] = \frac{1}{12} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \end{array} \right]</tex>](lib/plugins/latex/images/e96326398c9df4e00372318ed69db66360ec92cd_0.png "<tex>A^\dagger = V_r \sigma^{-1} U_r^T = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \frac{1}{\sqrt{12}\sqrt{2}\sqrt{6}} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \end{array} \right] = \frac{1}{12} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \end{array} \right]</tex>")
es matriz de proyección sobre Col() y además 
es solución de cuadrados mínimos de mínima norma, siendo el problema de cuadrados mínimos: 
El cual es análogo a:
Punto 4
a)
Cambio de Nombres: llamo 
a 
, y pues 
a 
Homogéneo
Como 
, es ortogonalmente diagonalizable:
y 
Cambio de Variables:
Queda, entonces:
Particular
pues 
donde 
y 
Reemplazo en :
Pues si 
y 
Entonces 
General
b)
Homogéneo
Planteo el polinomio fundamental asociado:
Propongo: 
Reemplazo en :
![<tex>\begin{array}{rcl} e^{3x} \left[ 3Q_m(x)+Q_m'+3Q_m(x) \right] &=& c_1 e^{3x}\\6Q_m(x)+Q_m'(x) &=& c_1, \qquad e^{3x} \neq 0 \quad \forall x \in \mathbf{R}\\\Longrightarrow Q_m(x) &=& \frac{c_1}{6} \end{array}</tex>](lib/plugins/latex/images/c483ff478126e37a90e760bdef34d65c6431c49a_0.png "<tex>\begin{array}{rcl} e^{3x} \left[ 3Q_m(x)+Q_m'+3Q_m(x) \right] &=& c_1 e^{3x}\\6Q_m(x)+Q_m'(x) &=& c_1, \qquad e^{3x} \neq 0 \quad \forall x \in \mathbf{R}\\\Longrightarrow Q_m(x) &=& \frac{c_1}{6} \end{array}</tex>")
Entonces: 
Particular
Propongo:
, y elijo 
& 
Queda:
y reemplazo en 
Reemplazando:
Reemplazo en
Reemplazando:
Queda:
y es entonces 
Donde
Con lo cual queda:
Y también:
Y entonces:
General
La condición es que sea finito lo siguiente:
![<tex>\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} y_G &=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \left[ \displaystyle c_2 e^{-3x} + \frac{c_1}{6} e^{3x} + \frac{e^{-3x}}{6} \left( x- \frac{1}{6} \right) \right]\\ &=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \left[ \displaystyle c_2 e^{-3x} + \frac{c_1}{6} e^{3x} + \frac{x}{6e^{3x}} - \frac{e^{-3x}}{36} \right]\end{array}</tex>](lib/plugins/latex/images/fc20dd4ed361d0c190b2b3c69a26d615e3a8ea71_0.png "<tex>\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} y_G &=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \left[ \displaystyle c_2 e^{-3x} + \frac{c_1}{6} e^{3x} + \frac{e^{-3x}}{6} \left( x- \frac{1}{6} \right) \right]\\ &=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \left[ \displaystyle c_2 e^{-3x} + \frac{c_1}{6} e^{3x} + \frac{x}{6e^{3x}} - \frac{e^{-3x}}{36} \right]\end{array}</tex>")
Veamos qué sucede con el tercer término. Allí tenemos una indeterminación del tipo 
y para salvarla usaremos la regla de l'Hôpital:
Llamemos 
y 
. Ambas son derivables en todo 
, 
y además 
. Entonces: si existe 
entonces existe 
y además (por si fuera poco) son iguales.
Ahora veamos qué sucede con el segundo término. Para que 
sea finito, debe ser necesariamente 
, ya que de otro modo el límite sería 
.
Nos queda, pues:
![<tex>\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} y_G &=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \left[ \displaystyle c_2 e^{-3x} + \frac{0}{6} e^{3x} + \frac{e^{-3x}}{6} \left( x- \frac{1}{6} \right) \right]\\ &=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \left[ \displaystyle c_2 e^{-3x} + \frac{0}{6} e^{3x} + \frac{x}{6e^{3x}} - \frac{e^{-3x}}{36} \right]\\ &=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \left( c_2 e^{-3x} \right) + \lim_{x\rightarrow+\infty} \left( \frac{0}{6} e^{3x} \right) + \lim_{x\rightarrow+\infty} \left( \frac{x}{6e^{3x}} \right) + \lim_{x\rightarrow+\infty} \left( - \frac{e^{-3x}}{36} \right)\\ &=& 0 + 0 + 0 + 0\\\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} y_G &=& 0\end{array}</tex>](lib/plugins/latex/images/884a2621cceeaf46b36d675cff3fbf334dcddc42_0.png "<tex>\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} y_G &=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \left[ \displaystyle c_2 e^{-3x} + \frac{0}{6} e^{3x} + \frac{e^{-3x}}{6} \left( x- \frac{1}{6} \right) \right]\\ &=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \left[ \displaystyle c_2 e^{-3x} + \frac{0}{6} e^{3x} + \frac{x}{6e^{3x}} - \frac{e^{-3x}}{36} \right]\\ &=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \left( c_2 e^{-3x} \right) + \lim_{x\rightarrow+\infty} \left( \frac{0}{6} e^{3x} \right) + \lim_{x\rightarrow+\infty} \left( \frac{x}{6e^{3x}} \right) + \lim_{x\rightarrow+\infty} \left( - \frac{e^{-3x}}{36} \right)\\ &=& 0 + 0 + 0 + 0\\\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} y_G &=& 0\end{array}</tex>")
Y la única condición para ello es que .
La ecuación que cumple con la condición pedida es, pues 
