Examen Final - 61.08. Álgebra II A - 29/02/2008

2008

Cátedra: Única
Fecha: 2º Cuatrimestre 2007
Día: 29/02/2008

Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material.

Sea $<tex>A = \left( {\begin{array}{*{20}c} \alpha & 1 & 0 \\ \beta & \alpha & 1 \\ 0 & \beta & \alpha \\ \end{array} } \right)\alpha ,\beta \in \Re</tex>$
a) Hallar los valores de $<tex>\alpha</tex>$ y $<tex>\beta</tex>$ para los cuales existe una base de $<tex>\Re^3</tex>$ compuesta por autovectores de A.

b) Considerar $<tex>\alpha = \frac{1}{2}</tex>$ y $<tex>\beta = \frac{1}{8}</tex>$ . Hallar todos los $<tex>v \in \Re ^3</tex>$ que satisfagan la condición: $<tex>\mathop {{\text{l\'i m}}}\limits_{k \to \infty } A^k v = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 8 & 4 & 1 \\ \end{array} } \right]^t</tex>$

Problema 2

a) Se sabe que $<tex>A \in \Re ^{3x3}</tex>$ es diagonalizable ortogonalmente, que $<tex>\left[\begin{array}{ccc}2 & {-2} & {-1} \\\end{array}\right]^t</tex>$ es autovector de A y que $<tex>A \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\end{array}\right]^t =\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 2 \\\end{array}\right]^t</tex>$ y $<tex>A \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\end{array}\right]^t =\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 0 \\\end{array}\right]^t</tex>$ .
Hallar los autovalores de A y una base ortonormal de $<tex>\Re^3</tex>$ compuesta por autovectores de A.

b) Sea $<tex>A,B \in \Re ^{nxn}</tex>$ simétricas. Probar que si los autovalores de A pertenecen al intervalo [a,b] y los de B al intervalo [c,d], entonces los autovalores de A+B se encuentran en [a+c,b+d].

Problema 3

a) Sea $<tex>Q:\Re ^2 \to \Re \_\_Q(x) = 13x_1 ^2 - 8x_1 x_2 + 7x_2</tex>$ hallar todos los $<tex>x</tex>$ de norma 1 que verifiquen $<tex>Q(x)=10</tex>$ .

b) Sean $<tex>A \in \Re ^{nxm}</tex>$ y $<tex>P \in \Re ^{nxn} ,Q \in \Re ^{mxm}</tex>$ matrices ortogonales, probar que si $<tex>B=PAQ^t</tex>$ entonces $<tex>B^+=QA^+P^t</tex>$ , donde $<tex>A^+</tex>$ y $<tex>B^+</tex>$ representan las matrices seudoinversas de moore-penrose de A y B respectivamente.

Problema 4

a) Sea $<tex>A \in \Re ^{2x2}</tex>$ simétrica tal que $<tex>det(A)>0</tex>$ y $<tex>tr(A)<0</tex>$ . Probar que toda solución $<tex>x(t) = (x_1 (t);x_2 (t))^t</tex>$ del sistema de ecuaciones $<tex>x'=Ax</tex>$ verifica $<tex>\mathop {{\text{l\'i m}}}\limits_{t \to \infty } x_i (t) = 0\quad i = 1,2</tex>$ .