Examen (Final) - 61.08. Algebra II - 20/02/2008
- - Punto 1
  - Punto 2
  - Punto 3
  - Punto 4
- Resolucion
  - Punto 1
  - Punto 2
  - Punto 3
  - Punto 4

2008

Cátedra: Indistinta.
Fecha: 3ra Oportunidad - Verano 2008
Día: 20/02/2008

Punto 1

(a) Sea $<tex>A\in \mathbf{C}^{2\times2} </tex>$ que posee dos autovalores distintos. Probar que si $<tex>B</tex>$ es tal que $<tex>AB=BA</tex>$ entonces $<tex>B</tex>$ es diagonalizable. (Sugerencia: considere a $<tex>B = PB^*P^{-1}</tex>$ )

(b)Sea $<tex>T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_2\right)</tex>$ definida por: $<tex>T\left(a_0 + a_1 t + a_2 t^2\right) = 4a_0 + \left(3a_1+a_2\right)t + \left(a_1+3a_2\right)t^2</tex>$

Probar que no existe una base $<tex>B</tex>$ de $<tex>\mathcal{P}_2</tex>$ tal que: $<tex>[T]_B = \left[ \begin{array}{c c c}3 & 1 & 0\\-1 & 5 & 0\\0 & 0 & 2\\\end{array} \right]</tex>$

Punto 2

(a) Sea $<tex>\langle x,y \rangle_a = 10x_1y_1 + 6x_1y_2 + 6x_2y_1 + 10x_2y_2, \quad x,y \in \mathbf{R}</tex>$

Probar que $<tex>\langle \cdot , \cdot \rangle_a</tex>$ es producto interno en $<tex>\mathbf{R}^2</tex>$ y hallar $<tex>B \in \mathbf{R}^{2\times2}</tex>$ simétrica e indefinida tal que $<tex>{\langle x,y \rangle}_a = \left\langle Bx,By \right\rangle</tex>$ cuando $<tex>\langle \cdot , \cdot \rangle</tex>$ es el PI canónico de $<tex>\mathbf{R}^2</tex>$ .

(b) Graficar el conjunto $<tex> \left\{ x \in \mathbf{R}^2 : |x|_a \le 4 \right\}</tex>$ y hallar $<tex>\mbox{m\'ax}_{x^T x = 1} |x|</tex>$ y los vectores donde alcanza extremo.

Punto 3

(a) Sea $<tex>A \in \mathbf{R}^{n \times n}</tex>$ probar que $<tex>\left|\mathrm{det}(A)\right|</tex>$ es igual al producto de los valores singulares de $<tex>A</tex>$ .

(b) Hallar $<tex>A \in \mathbf{R}^{3\times3}</tex>$ tal que $<tex>\mathrm{Col}(A) = \left\{ x \in \mathbf{R}^3 : x_1 + x_2 + x_3 = 0 \right\}</tex>$ y $<tex>\mathrm{Fil}(A)= \left\{ x \in \mathbf{R}^3 : x_1 - x_2 + x_3 = 0 \right\}</tex>$ y 3 y 2 son valores singulares de $<tex>A</tex>$ .

Punto 4

(a) Probar que toda solución $<tex>Y(t) = \left( \begin{array}{c} y_i(t)\\ y_i(t) \end{array} \right)</tex>$ del sistema:
$<tex>y'_1=-3y_1-y_2</tex>$
$<tex>y'_2=y_1-5y_2</tex>$

Satisface la condición $<tex>\lim_{t\rightarrow \infty} y(t) = 0, \qquad i=1,2</tex>$

(b) Resolver el problema de valores iniciales $<tex>y''+ay'+by=e^t</tex>$ , $<tex>y(0)=y'(0)=0</tex>$ .

Sabiendo que $<tex>a,\ b</tex>$ son constantes reales y que $<tex>y(t) = e^t cos(2t)</tex>$ es solución de la ecuación homogénea asociada.

Resolucion

Punto 1

(a)

A es una matriz 2×2 (aunque si fuese n X n la idea sería la misma) con 2 autovalores distintos. Entonces A es diagonalizable y se puede escribir $<tex> A=PDP^{-1} </tex>$ con $<tex> D=\left [ \begin{array}{rr} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{array} \right ] </tex>$ con $<tex> \lambda_1 \neq \lambda_2 </tex>$ .

Ahora escribimos $<tex> B=PB^*P^{-1} </tex>$ (lo cual es siempre posible tomando $<tex> B^*=P^{-1}BP </tex>$ ). Si probamos que $<tex>B^*</tex>$ es diagonal, entonces $<tex> B</tex>$ es diagonalizable.

Como $<tex> AB=BA </tex>$ , tenemos que

$<tex> AB=PDP^{-1}PB^*P^{-1}=PDB^*P^{-1}=BA=PB^*DP^{-1}</tex>$

con lo cual

$<tex> PDB^*P^{-1}= PB^*DP^{-1} </tex>$ , y, por lo tanto, cancelando $<tex> P \;{\rm y} \;P^{-1} </tex>$ resulta

$<tex>DB^*=B^*D</tex>$ . Ahora usamos que $<tex> D </tex>$ es diagonal y que los elementos de la diagonal son distintos. Llamando $<tex> B^*=(u_{ij}) </tex>$ , tenemos

$<tex> \left [ \begin{array}{rr} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rr} u_{11} & u_{12}\\ u_{21} & u_{22} \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rr} \lambda_1 u_{11}& \lambda_1 u_{12}\\ \lambda_2 u_{21} & \lambda_2 u_{22}\end{array} \right ] </tex>$

y

$<tex> \left [ \begin{array}{rr} u_{11} & u_{12}\\ u_{21} & u_{22} \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rr} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rr} \lambda_1 u_{11}& \lambda_2 u_{12}\\ \lambda_1 u_{21} & \lambda_2 u_{22}\end{array} \right ] </tex>$ .

Entonces $<tex> \lambda_1 u_{12}=\lambda_{2}u_{12}</tex>$ y $<tex> \lambda_1 u_{21}=\lambda_{2}u_{21}</tex>$ . Como $<tex>\lambda_1 \neq \lambda_2</tex>$ , necesariamente $<tex>u_{12}=0</tex>$ y $<tex>u_{21}=0</tex>$ , con lo cual $<tex>B^*</tex>$ es diagonal.

(b)

Punto 2

(a)

Si $<tex> G </tex>$ es la matriz definida positiva de p.i que cumple $<tex> \left \langle x,y \right\rangle_a =x^TGy</tex>$ , entonces $<tex> \left\langle Bx,By \right\rangle =x^TB^TBy=x^TGy</tex>$ . Como la matriz que buscamos es simétrica, la igualdad se cumple si hallamos $<tex> B</tex>$ simétrica e indefinida tal que $<tex>B^2=G</tex>$ .

Para hallar $<tex> B</tex>$ , diagonalizamos ortogonalmente $<tex>G</tex>$ , $<tex>G=PDP^T</tex>$ . Teniendo en cuenta que los avas de $<tex>G</tex>$ son positivos (por ser definida positiva), definimos $<tex>B=PD^*P^T</tex>$ con $<tex>D^*</tex>$ una matriz diagonal en la cual aparecen las raíces cuadradas de los elementos de $<tex>D</tex>$ , una con signo positivo y otra con signo negativo. Tal $<tex>B</tex>$ es simétrica, indefinida y verifica $<tex>B^2=G</tex>$ .