Examen (Final) - 61.08. Algebra II - 12/02/2008
- - Punto 1
  - Punto 2
  - Punto 3
  - Punto 4

2008

Cátedra: Única
Fecha: 2da Oportunidad - Verano 2008
Día: 12/02/2008

Punto 1

Sea base $<tex>B = \{v_1;v_2;v_3\} </tex>$ de un $<tex>R</tex>$ - espacio vectorial $<tex>V</tex>$ y sea $<tex>T \in L(V)</tex>$ definida por:

$<tex>T(v_1)= 3v_1 + 6v_2</tex>$ $<tex>+ 4v_3</tex>$

$<tex> T(v_2)= 2v_2</tex>$

$<tex>T(v_3)= -2v_1 - 6v_2</tex>$ $<tex>-3v_3</tex>$

(a) Hallar tres subespacios de dimension 1, $<tex>S_1,S_2,S_3</tex>$ tales que: $<tex>T(S_i) \subseteq S_i</tex>$ para $<tex>i= 1,2,3</tex>$ y $<tex>V= S_1 \oplus S_2 \oplus S_3</tex>$

(b) Hallar $<tex>[ T^k ]_B</tex>$ para $<tex>k \in N</tex>$

(a) Hallar $<tex>A \in \mathbf R^{3 \times 3}</tex>$ simétrica tal que $<tex> [1 \quad 1 \quad 0]^t </tex>$ y $<tex>[0 \quad 1 \quad 1]^t</tex>$ sean autovectores de $<tex>A</tex>$ , $<tex>det(A)=2</tex>$ y $<tex>traza(A)=0</tex>$ .

(b) Sea $<tex>Q(x)=x^T(I- \alpha A)x</tex>$ con $<tex>A</tex>$ la matriz hallada en (a) y $<tex> \alpha \in R</tex>$ . Hallar $<tex>max_{\|x\|=1}Q(x)</tex>$ y todos los vectores en los cuales se alcanza ese extremo.

Punto 3

(a) Sea $<tex>Q: R^2 \rightarrow R</tex>$ , $<tex>Q(x)=11x_1^2 - 16x_1x_2 - x_2^2</tex>$ . Hallar todos los $<tex>x \in R^2</tex>$ de norma 1 tales que $<tex>Q(x)=0</tex>$

(b) Sea $<tex>A \in \mathbf R^{m \times n}</tex>$ com m valores singulares no nulos. Probar que $<tex>(x,y)=x^T(AA^T)y</tex>$ es producto interno en $<tex>R^m</tex>$ .

Punto 4

(a) Sea $<tex>A</tex>$ una matriz n x n. Probar que si $<tex>A</tex>$ posee n autovalores distintos entonces existe una matriz inversible $<tex>P</tex>$ tal que el cambio de variables $<tex>y=Pz</tex>$ transforma el sistema de ecuaciones diferenciales $<tex>y'=Ay</tex>$ en el sistema $<tex>z'=Dz</tex>$ con $<tex>D</tex>$ una matriz diagonal.