Examen Final - 61.08. Álgebra II
- - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV

Examen Final - 61.08. Álgebra II

Cátedra: Todas
Fecha: 5º Oportunidad - (1º Cuatrimestre|Invierno) 2007
Día: 8/08/2007

Punto I

(a) Sea $<tex>A \in C^2</tex>$ diagonalizable. Probar que $<tex>Col(A) \oplus Nul(A) = C^n</tex>$ .

(b) Hallar los autovalores y autoespacios de $<tex>A=B(C^n+I)B^{-1}</tex>$ con $<tex>B= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2\\ \end{array} \right]</tex>$ y $<tex>C= \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & 0\\ -1 & 1 & 2\\ \end{array} \right]</tex>$

Punto II

(a) Probar que si $<tex>A \in R^{nxn}</tex>$ es simétrica y sus autovlaores tienen módulo 1 entonces las comlumnas de A forman una BOG de $<tex>R^n</tex>$ .

(b) Sabiendo que Q(x) es una forma cuadrática en $<tex>R^n</tex>$ tal que con el cambio $<tex>x=Pz</tex>$ con $<tex>P \in R^{2x2}</tex>$ ortogonal, se transforma en $<tex>11z_1^2+6z_1z_2+4z_2^2</tex>$ , hallar $<tex>Max_{\|x\|=1}Q(x)</tex>$ y $<tex>Min_{\|x\|=1}Q(x)</tex>$ .

Punto III

(a) Sea $<tex>T \in \mathcal{L}(R^3)</tex>$ definida por $<tex>T(x)= \left[ \begin{array}{c} x_1+x_2-x_3\\ x_1+ \alpha x_2-x_3\\ x_2+2x_3\\ \end{array} \right]</tex>$ . Determinar para qué valores de $<tex>\alpha \in R \exists B</tex>$ y $<tex>C</tex>$ ortonormales de $<tex>R^3</tex>$ tal que $<tex>[T]_{BC}= \left[ \begin{array}{ccc} \gamma _1 & 0 & 0\\ 0 & \gamma _2 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right]</tex>$ con $<tex>\gamma _1</tex>$ y $<tex>\gamma _2 >0</tex>$ . Para los valores de $<tex>\alpha</tex>$ hallados mostrar esas bases.

(b) Probar que $<tex>(A^T)^+=(A^+)^T</tex>$ con $<tex>A \in R^{mxn}</tex>$ .

Punto IV

(a) Expresar en términos de funciones reales la solución general de $<tex>Y'= \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right]Y</tex>$ .

(b) Sea $<tex>V= \{ F:R \to R \backslash F \in C^2(R)</tex>$ y $<tex>F(0)=0 \}</tex>$ y sea $<tex>L:V \to C(R)</tex>$ definida como $<tex>L(F)=F''-F</tex>$ . Probar que $<tex>L</tex>$ es transformación lineal, hallar bases de $<tex>Nul(L)</tex>$ y todas las $<tex>F \in V \backslash L(F)=1</tex>$ .