Examen Final - 61.08. Álgebra II
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  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV

Examen Final - 61.08. Álgebra II

Cátedra: Todas
Fecha: 4º Oportunidad - (1º Cuatrimestre|Invierno) 2007
Día: 31/07/2007

Punto I

(a) Sean A y B matrices de $<tex>R^{nxn}</tex>$ tal que A es diagonalizable y todo autovector de A es a la vez autovector de B. Probar que $<tex>AB=BA</tex>$ .

(b) Sea $<tex>A= \left[ \begin{array}{cc} -1/2 & 3\\ -1/2 & 2 \\ \end{array} \right]</tex>$ . Hallar todos los $<tex>x \in R^2</tex>$ tales que $<tex>\lim_{k \to \infty} (A^kx)= \left[ \begin{array}{c} 2\\ 1\\ \end{array} \right]</tex>$ .

Punto II

Sea $<tex>Q(x)=x^T \left[ \begin{array}{cc} a & b\\ b & a\\ \end{array} \right]x</tex>$ , a y b reales y positivos.

(a) Graficar el conjunto de pares $<tex>(a,b)</tex>$ para los cuales se cumple $<tex>0 < Q(x) < 2</tex>$ $<tex>\forall x / \|x\| =1</tex>$ .

(b) Tomando $<tex>a= \frac {3}{2}</tex>$ y $<tex>b= \frac {5}{2}</tex>$ , graficar $<tex>\{ x \in R^2 : Q(x) \leq 0 \}</tex>$ .

Punto III

(a) Probar que si $<tex>A \in R^{nxn}</tex>$ tal que $<tex>\|Ax\|=\|x\|</tex>$ $<tex>\forall x \in R^n</tex>$ entonces los valores singulares de A son todos 1 y es ortogonal.

(b) Hallar $<tex>A \in R^{3x3}</tex>$ tal que $<tex>P= \left[ \begin{array}{cc} 1/2 & 1/2\\ 1/2 & 1/2 \\ \end{array} \right]</tex>$ proyecte sobre $<tex>Col(A)</tex>$ ; $<tex>Nul(A)= \{x \in R^3 : x_1+x_2 =0 \}</tex>$ y $<tex>Max_{\|x\|=1} \|Ax\|=2</tex>$ .

Punto IV

(a) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$<tex>y'_1 = -y_1 + 9y_2\\y'_2 = -y_1 + 5y_2</tex>$

(b) Hallar los valores de $<tex>a \in R</tex>$ para que toda solución $<tex>y(t)</tex>$ de la ecuación $<tex>y''+(a+1)y'+ay=0</tex>$ tenga límite finito cuando $<tex>t \to + \infty</tex>$ .