Examen Final - 61.08. Álgebra II
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Resolución
  - Punto III
- Discusión

Examen Final - 61.08. Álgebra II

Cátedra: Todas
Fecha: 3º Oportunidad - (1º Cuatrimestre|Invierno) 2007
Día: 23/07/2007

(a) Dada $<tex>A= \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & b\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & a\\ \end{array} \right]</tex>$ halle los valores de a y b para que 1 sea autovalor de A y A no sea semejante a una matriz diagonal.

(b) Sea $<tex>T \in L(P_2)</tex>$ tal que $<tex>[T]_E=A</tex>$ con $<tex>a=-b=2</tex>$ y $<tex>E=\{1,t,t^2\}</tex>$ . Halle $<tex>T^{10}(1+t)</tex>$ .

Punto II

Sea $<tex>Q: R^n \rightarrow R</tex>$ ; $<tex>Q(x)=x^T(\alpha I + \beta P)x</tex>$ con $<tex>P \in R^{nxn}</tex>$ matriz de proyección y $<tex>\alpha</tex>$ y $<tex>\beta \in R</tex>$ .

(a) Halle los valores de $<tex>\alpha</tex>$ y $<tex>\beta</tex>$ para que $<tex>Max_{\|x\|=1}Q(x)=5</tex>$ y $<tex>Min_{\|x\|=1}Q(x)=2</tex>$ .

(b) Suponiendo $<tex>\alpha=1</tex>$ y $<tex>\beta=3</tex>$ y $<tex> Col(P) = \{x \in R^2:x_1+2x_2=0\}</tex>$ grafique el conjunto $<tex>\{x \in R^2:Q(x)\leq 4 \}</tex>$ .

Punto III

(a) Demostrar que si 4 es valor singular de $<tex>A \in R^{nxm}</tex>$ , entonces existe $<tex>x \in R^m</tex>$ con $<tex>\|x\|=1</tex>$ tal que $<tex>\|Ax\|=4</tex>$ .

(b) Probar que dada $<tex>A \in R^{nxn}</tex>$ con $<tex>Det(A) \neq 0</tex>$ siempre puede hallarse una matriz ortogonal $<tex>R \in R^{nxn}</tex>$ de modo tal que $<tex>B=AR</tex>$ sea simétrica y definida positiva.

Punto IV

(a) Hallar la solución general del sistema de ecuaciones

$<tex>y_1'=3y_1+4y_2+1\\y_2'=4y_1+3y_2-1</tex>$

(b) Halle la solución a valores iniciales de $<tex>(1+x^2)y''+2xy'= \frac {1}{1+x^2}</tex>$ , $<tex>y(0)=y'(0)=1</tex>$ . Pista: considere $<tex>z=y'</tex>$ .

Resolución

Punto III

a)Hago una DVS de A: $<tex> A = U \Sigma V^T </tex>$ .
Tengo como dato que 4 es valor singular, entonces defino $<tex>\sigma_k = 4 </tex>$
Tengo que demostrar que existe un x que cumpla $<tex> ||Ax|| = 4</tex>$ , o lo que es lo mismo $<tex> (Ax,Ax)=||Ax||^2 = 16</tex>$ , con $<tex> ||x|| = 1</tex>$
Desarrollo el producto $<tex> (Ax,Ax) </tex>$ con la DVS de $<tex>A</tex>$ :
$<tex> (Ax,Ax)=(U\Sigma V^T x)^T U\Sigma V^T x = x^T V \Sigma^T U^T U \Sigma V^T x = x^T V \Sigma^T \Sigma V^T x </tex>$
Sabiendo qeu $<tex>\Sigma</tex>$ es una matriz definida por bloques, $<tex> D \in r \times r </tex>$ con $<tex>rango(A)=r</tex>$ :
$<tex>\Sigma = \left[ \begin{array}{cc} D & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right]</tex>$
$<tex>\Sigma^T \Sigma = \left[ \begin{array}{cc} D^2 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right]</tex>$
Planteo tambein el cambio de variables ortogonal $<tex> y = V^T x \Longleftrightarrow y^T=(V^T x)^T=x^T V \Longleftrightarrow x = V y \Longleftrightarrow x^T=(V y)^T=y^T V^T </tex>$
Entonces la expresión me queda: $<tex> (Ax,Ax)= y^T \Sigma^2 y = {\sum_{i=1}^r \sigma_i^2 y_i^2} </tex>$
Propongo un $<tex>y</tex>$ de manera tal que $<tex>(Ax,Ax)=16</tex>$ y
$<tex>1=||x||=||x||^2=(x,x)=(Vy,Vy)= y^T V^T V y = y^T y = (y,y) = ||y||^2 = 1 </tex>$
Se ve facil que el vector $<tex>y</tex>$ con un $<tex>1</tex>$ en la k-ésima posición y ceros en las otras cumple ambas condiciones. Para obtener el x utilizamos la igualdad $<tex>x=Vy</tex>$

b) Hago una DVS de A: $<tex> A = U \Sigma V^T </tex>$ . Entonces me queda $<tex> B = U \Sigma V^T R </tex>$ . Para que B sea simétrica, se debe cumplir: $<tex>B = B^T \\U \Sigma V^T R = (U \Sigma V^T R)^T = R^T V \Sigma^T U^T = R^T V \Sigma U^T \\ </tex>$

De aca obtenemos la condición $<tex> V^T R = U^T </tex>$ . En este caso $<tex> \Sigma = \Sigma^T </tex>$ por ser una matriz cuadrada, ya que $<tex> \Sigma \in n \times n </tex>$ .
Se puede ver también que se comprueba que $<tex>R</tex>$ es ortogonal, porque es producto de dos matrices ortogonales, siendo $<tex>R=VU^T</tex>$ . Ahora faltaría probar que B es definida positiva. Armo la siguiente forma cuadrática:
$<tex> Q(x)=x^TBx=x^T U \Sigma U^T x </tex>$
Realizo un cambio de variables $<tex> y = U^T x \Longleftrightarrow y^T=(U^T x)^T=x^T U </tex>$
$<tex> \tilde Q(y)= y^T \Sigma y </tex>$
Para probar que esta forma cuadrática es definida positiva alcanzaria con ver que los elementos de la diagonal, es decir, los valores singulares, son estrictamente mayores que 0. Pero, sabemos que $<tex> \sigma_i=\sqrt{\lambda_i} </tex>$ siendo $<tex>\lambda_i</tex>$ el i-ésimo autovalor de $<tex>A^T A</tex>$ , pero como $<tex> det(A^T A) = det (A) \cdot det (A^T)= det (A)^2 \neq 0 </tex>$ , 0 no puede ser autovalor, entonces 0 tampoco puede ser valor singular, y queda demostrado que siempre existe $<tex>R</tex>$ que cumpla las condiciones requeridas

Discusión

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