Enunciado
1) Sea 
y sea 
una base de 
. (a) Sea
![<tex>[f]_{B} = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2\alpha-1 & 2\alpha-1 & 4 \end{array} \right]</tex>](lib/plugins/latex/images/c880e6731ea360f82e0a7bc3b11b43957192be03_0.png "<tex>[f]_{B} = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2\alpha-1 & 2\alpha-1 & 4 \end{array} \right]</tex>")
, determine los valores de 
. para los cuales ![<tex>[f]_B</tex>](lib/plugins/latex/images/500a6475c38ca7e8d38f1dc35d00d864767a2935_0.png "<tex>[f]_B</tex>")
es diagonalizable. Hallar los autovalores y autoespacios.
(b) Considerando 
buscar la imagen de 
con 
.
2) (a) Los valores del potencial eléctrico en el punto ![<tex> [x_1 \quad x_2]^t </tex>](lib/plugins/latex/images/b6609ab918cb92fbe691b025e2ce8a5370a46848_0.png "<tex> [x_1 \quad x_2]^t </tex>")
están dados por 
. Hallar las curvas equipotenciales y dibujar algunas.
(b) Considerando la forma 
, hallar los puntos en los cuales el potencial es mínimo.
3) (a) Sea ![<tex> A = \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & 1 \\\end{array} \right]</tex>](lib/plugins/latex/images/d187f78cfe59392df59407883d037bae2bbee750_0.png "<tex> A = \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & 1 \\\end{array} \right]</tex>")
![<tex>\left[ \begin{array}{ccc} \gamma_1 & 0 \\ 0 & \gamma_2 \\\end{array} \right]</tex>](lib/plugins/latex/images/fd47fd9fcf110cb0898bf2442dbc402302330ad1_0.png "<tex>\left[ \begin{array}{ccc} \gamma_1 & 0 \\ 0 & \gamma_2 \\\end{array} \right]</tex>")
![<tex>\left[ \begin{array}{ccc} 4 & -3 \\ 3 & 4 \\\end{array} \right]</tex>](lib/plugins/latex/images/b38056bb7473d392025ea7bbbcc92fb69dc795e1_0.png "<tex>\left[ \begin{array}{ccc} 4 & -3 \\ 3 & 4 \\\end{array} \right]</tex>")
,
Hallar una DVS y las matrices de proyección del 
y 
(b) Con 
y 
, busque todos los 
tales que 
resulte mínimo.
4) (a) Hallar la solución de la ecuación diferencial a valores iniciales de
![<tex> X' = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \alpha \\ \alpha & 1 \\\end{array} \right]X</tex>](lib/plugins/latex/images/4d46ca24c9b35bb6b0b7866bd778f843611223c8_0.png "<tex> X' = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \alpha \\ \alpha & 1 \\\end{array} \right]X</tex>")
,
![<tex> X(0) = \left[ \begin{array}{ccc} 1 \\ 3 \\\end{array} \right]</tex>](lib/plugins/latex/images/bed0831cf21877e4f6abb39b81fbb986b8db1d7e_0.png "<tex> X(0) = \left[ \begin{array}{ccc} 1 \\ 3 \\\end{array} \right]</tex>")
(b) Hallar la solución general de 
sabiendo que la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada es 
El examen se aprueba resolviendo correctamente al menos cuatro puntos. Justifique todas sus respuestas.
