Coloquio 21/12/2005

2005

Enunciado

1) Sea $<tex>T</tex>$ y sea $<tex>B = \{v_1;v_2;v_3\} </tex>$ una base de $<tex>V</tex>$ . (a) Sabiendo que para cierta base $<tex>B'</tex>$ de $<tex>V</tex>$ ,

$<tex>[T]_{B'} = \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 1 & \alpha + 1 \end{array} \right]</tex>$ , determine los valores de $<tex> \alpha </tex>$ . para los cuales $<tex>[T]_B</tex>$ es diagonalizable.

(b) Considerando $<tex>B' = \{v_2 + v_3; v_1 + v_2; -v_1 + v_2 + v_3\} </tex>$ y $<tex> \alpha = -2</tex>$ , hallar los autovalores y autoespacios de $<tex>S = T^5 + 2T </tex>$ .

2) (a) Sea $<tex>U \in \mathbf R^{3\times 3}</tex>$ ortogonal y tal que $<tex>\det (U)= 1</tex>$ . Probar que existe $<tex>v \in \mathbf R^3, v \not= 0 </tex>$ , tal que $<tex>Uv = v</tex>$ . (b) Probar que si $<tex>A \in \mathbf R^{n \times n}</tex>$ es simétrica y tal que $<tex> -3\| x \| ^2 \leq x^t(A-I)x \leq -2\|x\| ^2 </tex>$ para todo $<tex> x \in \mathbf R^n</tex>$ , entonces $<tex>A</tex>$ es inversible y los autovalores de $<tex>A^{-1}</tex>$ pertenecen al intervalo $<tex>[-1,\;-0.5]</tex>$

3) La temperatura del punto $<tex> [x_1 \quad x_2]^t </tex>$ del plano es $<tex>T(x) = 4x_1^2 + 2 \alpha x_1x_2 + x_2^2 </tex>$ $<tex>( \alpha \in \mathbf R )</tex>$ . (a)Hallar los valores de $<tex> \alpha </tex>$ para los cuales las isotermas son curvas cerradas. (b) Considerando $<tex> \alpha =2</tex>$ , hallar los puntos de la curva $<tex> 4x_1^2+x_2^2 =4</tex>$ en los cuales la temperatura es máxima.

4) (a) Hallar $<tex>A \in \mathbf R^{3 \times 3} </tex>$ tal que 9 y 4 sean autovalores de $<tex>A^tA</tex>$ , $<tex> [0 \quad 1 \quad -1]^t \in \mathrm{Nul} (A) </tex>$ y $<tex> [-1 \quad 0 \quad 1]^t \in \mathrm{Nul} (A^t)</tex>$ .

(b) Sabiendo que $<tex>A \in \mathbf R^{2 \times 2}</tex>$ es simétrica y tal que $<tex>A[2\quad 1]^t = [4 \quad 2]^t </tex>$ y $<tex> \det (A) = 2 </tex>$ , hallar la solución del problema a valor inicial $<tex> X' = A^{-1}X </tex>$ , $<tex>X(0) = [0 \quad 1 ]^t</tex>$ .

Los alumnos del 2do cuatrimestre de 2004 o del 1ro de 2005 deben reemplazar el punto 4(b) por el siguiente: (b*) Sea $<tex> A \in \mathbf R^{m \times n}</tex>$ . Probar que $<tex> \mathrm{Col} (A^+) = \mathrm{Fil} (A)</tex>$ y que $<tex> \mathrm{Nul} (A^+) = \mathrm{Nul} (A^t)</tex>$ .

El examen se aprueba resolviendo correctamente al menos cuatro puntos. Justifique todas sus rerspuestas.

Resolución Ejercicio 1)

Resolución Ejercicio 2)

(b)
Si $<tex>\alpha =2</tex>$ entonces $<tex>T(x)=4 x_1^2 + 4 x_1 x_2+x_2^2</tex>$ / con la restricción de que $<tex> 4x_1^2 + x_2^2 =4</tex>$
Primero voy a cambiar la restricción para que me quede de $<tex>\|\| =1</tex>$
$<tex> y_1^2 + y_2^2=1</tex>$ entonces tengo que aplicar una transformación $<tex>x=Py</tex>$ donde $<tex>y_1=x_1</tex>$ y $<tex>y_2= x_2 /2</tex>$
Planteo $<tex>y=P^{-1}x</tex>$ con $<tex>P^{-1} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \\\end{array} \right]</tex>$
Quedaria: $<tex> \left[ \begin{array}{ccc} y_1 \\y_2 \\\end{array} \right]</tex>$ = $<tex> \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \\\end{array} \right]</tex>$ $<tex> \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\\end{array} \right]</tex>$
Por lo tanto $<tex>P = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\\end{array} \right]</tex>$

Ahora voy a analizar la ecuación $<tex>x^T A x</tex>$
Obtengo: $<tex>x^T A x = (Py)^T A Py = y^T P^T A P y</tex>$ con $<tex>A = \left[ \begin{array}{ccc} 4 & 2 \\ 2 & 1 \\\end{array} \right]</tex>$
Busco el máximo de $<tex>y^T P^T A P y = y^T \left[ \begin{array}{ccc} 4 & 4 \\ 4 & 4 \\\end{array} \right] y</tex>$
A simple viste se puede observar que $<tex> \lambda_1 =0 </tex>$ y $<tex> \lambda_2 =8 </tex>$
Por lo tanto en $<tex> \lambda_2</tex>$ va a estar el máximo
$<tex> S_\lambda = Nu(P^T A P - \lambda I)= Nu(\left[ \begin{array}{ccc} -4 & 4 \\ 4 & -4 \\\end{array} \right]) </tex>$
$<tex> S_\lambda = gen{[1 \quad 1]^T}</tex>$ / como tenia que ser de norma 1 $<tex>y=\pm [1/\sqrt 2 \quad 1/\sqrt 2]^T</tex>$
$<tex>x=Py</tex>$ / $<tex>x=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\\end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} 1/\sqrt 2 \\1/\sqrt 2 \\\end{array} \right]</tex>$
$<tex>x = \left[ \begin{array}{ccc} 1/\sqrt 2 \\2/\sqrt 2 \\\end{array} \right]</tex>$
El máximo va a estar en $<tex>x = \pm [1/\sqrt 2 \quad 2/\sqrt 2]^T</tex>$

Resolución Ejercicio 3)

Resolución Ejercicio 4)

(a)
Primero voy a escribir a $<tex>A</tex>$ como $<tex>U\Sigma V^T</tex>$ como $<tex>A \in R^{3\times 3}</tex>$ entonces
$<tex>U \in R^{3\times 3}</tex>$
$<tex>V \in R^{3\times 3}</tex>$
$<tex>\Sigma \in R^{3\times 3}</tex>$
$<tex>V = \left[ \begin{array}{ccc} a & d & 0 \\ b & e & 1/\sqrt 2 \\c & f & -1/\sqrt 2 \end{array} \right]</tex>$ $<tex>U = \left[ \begin{array}{ccc} o & r & -1/\sqrt 2 \\ p & s & 0 \\q & t & 1/\sqrt 2 \end{array} \right]</tex>$ $<tex>\Sigma = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 01 \\ 0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{array} \right]</tex>$
tal que la $<tex>3^{er}\mathrm{Col}(V) \in \mathrm{Nul}(A) </tex>$ y la $<tex>3^{er}\mathrm{Col}(U) \in \mathrm{Nul}(A^T) </tex>$ , siendo $<tex>\Sigma</tex>$ las raices de los autovalores de $<tex>A^T A</tex>$
Entonces lo que hay que hacer es completar esas dos matrices con valores tal que $<tex>V</tex>$ y $<tex>U</tex>$ sean matrices ortogonales, no son valores muy dificiles de sacar, por lo tanto pongo directamente
$<tex>V = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt 2& 1/\sqrt 2 \\0 & 1/\sqrt 2 & -1/\sqrt 2 \end{array} \right]</tex>$ $<tex>U = \left[ \begin{array}{ccc} -1/\sqrt 2 & 0 & -1/\sqrt 2 \\ 0 & 1 & 0 \\-1/\sqrt 2 & 0 & 1/\sqrt 2 \end{array} \right]</tex>$
$<tex>V</tex>$ es simétrica, por lo tanto puedo decir que $<tex>U\Sigma V^T = U\Sigma V = A </tex>$
Calculando: $<tex>A=\left[ \begin{array}{ccc} (-3\sqrt 2)/2 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt 2& 0 \\(-3\sqrt 2)/2 & 0 & \sqrt 2 \end{array} \right]</tex>$