Coloquio 21/12/2005

2005

Enunciado

1) Sea $<tex>T</tex>$ y sea $<tex>B = \{v_1;v_2;v_3\} </tex>$ una base de $<tex>V</tex>$ . (a) Sabiendo que para cierta base $<tex>B'</tex>$ de $<tex>V</tex>$ ,

$<tex>[T]_{B'} = \left[ \begin{array}{ccc} \alpha + 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & -1 \end{array} \right]</tex>$ , determine los valores de $<tex> \alpha </tex>$ . para los cuales $<tex>[T]_B</tex>$ es diagonalizable.

(b) Considerando $<tex>B' = \{v_1 + v_2; v_2 + v_3; v_2 - v_3\} </tex>$ y $<tex> \alpha = -2</tex>$ , hallar los autovalores y autoespacios de $<tex>S = T^5 + 2T </tex>$ .

2) (a) Sea $<tex>U</tex>$ ortogonal y tal que $<tex>\det (U)= 1</tex>$ . Probar que existe $<tex>v \in \mathbf R^3, v \not= 0 </tex>$ , tal que $<tex>Uv = v</tex>$ . (b) Probar que si $<tex>A \in \mathbf R^{n \times n}</tex>$ es simétrica y tal que $<tex> 2\| x \| ^2 \leq x^t(A+I)x \leq 3\|x\| ^2 </tex>$ para todo $<tex> x \in \mathbf R^n</tex>$ , entonces $<tex>A</tex>$ es inversible y los autovalores de $<tex>A^{-1}</tex>$ pertenecen al intervalo $<tex>[0.5,\;1]</tex>$

3) La temperatura del punto $<tex> [x_1 \quad x_2]^t </tex>$ del plano es $<tex>T(x) = x_1^2 + 2 \alpha x_1x_2 + 4x_2^2 </tex>$ $<tex>( \alpha \in \mathbf R )</tex>$ . (a)Hallar los valores de $<tex> \alpha </tex>$ para los cuales las isotermas son curvas cerradas. (b) Considerando $<tex> \alpha =2</tex>$ , hallar los puntos de la curva $<tex> x_1^2+4x_2^2 =4</tex>$ en los cuales la temperatura es mínima.

4) (a) Hallar $<tex>A \in \mathbf R^{3 \times 3} </tex>$ tal que 4 y 1 sean autovalores de $<tex>A^tA</tex>$ , $<tex> [1 \quad 1 \quad 0]^t \in \mathrm{Nul} (A) </tex>$ y $<tex> [1 \quad 0 \quad 1]^t \in \mathrm{Nul} (A^t)</tex>$ .

(b) Sabiendo que $<tex>A \in \mathbf R^{2 \times 2}</tex>$ es simétrica y tal que $<tex>A[1\quad 2]^t = [2 \quad 4]^t </tex>$ y $<tex> \det (A) = -2 </tex>$ , hallar la solución del problema a valor inicial $<tex> X' = A^{-1}X </tex>$ , $<tex>X(0) = [1 \quad 0 ]^t</tex>$ .

Los alumnos del 2do cuatrimestre de 2004 o del 1ro de 2005 deben reemplazar el punto 4(b) por el siguiente: (b*) Sea $<tex> A \in \mathbf R^{m \times n}</tex>$ . Probar que $<tex> \mathrm{Col} (A^+) = \mathrm{Fil} (A)</tex>$ y que $<tex> \mathrm{Nul} (A^+) = \mathrm{Nul} (A^t)</tex>$ .

El examen se aprueba resolviendo correctamente al menos cuatro puntos. Justifique todas sus rerspuestas.

Resolución Ejercicio 1)

1.a)

$<tex>T</tex>$ es diagonalizable sii las multiplicidades algebráica y geómetrica de todos sus autovalores coinciden. Empezamos obteniendo los autovalores de $<tex>[T]_B</tex>$ .

$<tex>[T_B] - \lambda I = \left( \begin{array}{ccc} \alpha+1-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & -1-\lambda \end{array} \right) </tex>$

$<tex>p(\lambda) = det( [T_B] - \lambda I) = -(1+\lambda)(1-\lambda)(\alpha+1-\lambda) = 0 </tex>$ $<tex> => \lambda_1=-1, \ \lambda_2=1,\ \lambda_3=\alpha+1</tex>$

Si los tres autovalores son distintos, entonces sus multiplicidades algebráicas y geométricas son 1. Por lo tanto para $<tex>\alpha\not=0 \wedge \alpha\not=-2</tex>$ se verifica que $<tex>T</tex>$ es diagonalizable. Ahora vamos a los dos casos más puntuales:

Con $<tex>\alpha=0</tex>$ , $<tex>\lambda_3 = \lambda_2=1</tex>$

$<tex>S_{\lambda_2} = nul(A-\lambda_2 I) = nul \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right) = gen \left\{ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \right\} </tex>$

Como para $<tex>\lambda_2</tex>$ la multiplicidad algebráica $<tex>\left( m_2 = 2 \right)</tex>$ es diferente de la geométrica $<tex>\left( \mu_2 = 1 \right)</tex>$ , entonces con $<tex>\alpha =0</tex>$ , $<tex>T</tex>$ no es diagobalizable.

Con $<tex>\alpha=-2</tex>$ , $<tex>\lambda_3 = \lambda_1=-1</tex>$

$<tex>S_{\lambda_1} = nul(A-\lambda_1 I) = nul \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) = gen \left\{ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right\} </tex>$

Como para $<tex>\lambda_2</tex>$ la multiplicidad algebráica $<tex>\left( m_2 = 2 \right)</tex>$ es igual a la geométrica $<tex>\left( \mu_2 = 2 \right)</tex>$ , entonces con $<tex>\alpha =-2</tex>$ , $<tex>T</tex>$ es diagobalizable.

Así podemos recopilar todo y decir que $<tex>T</tex>$ es diagonalizable $<tex>\forall \alpha \in R - \{ 0 \}</tex>$

1.b)

Para este insciso del ejercicio vamos a usar dos resultados del ejercicio anterior: [list]- Si $<tex>\alpha=2 \Rightarrow T</tex>$ es diagonalizable y $<tex>\lambda_3=-1</tex>$ - $<tex>[T_{B'}] = P D_T P^{-1}</tex>$ siendo $<tex>D_T=\left( \begin{array}{c c c} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) </tex>$ y $<tex>P</tex>$ una matriz cuyas columnas son una base de $<tex>\mathbf K^3</tex>$ formada por autovectores de $<tex>[T_{B'}]</tex>$ ordenados de la misma manera que sus autovalores asociados lo están en $<tex>D_T</tex>$ [/list] Entonces comenzamos a resolver el ejercicio:

$<tex>[S_{B'}]=[T_{B'}]^5 + 2 [T_{B'}] = P {D_T}^5 P^{-1} + 2 ( P D_T P^{-1}) = P ( {D_T}^5 + 2 D_T ) P^{-1}</tex>$

La primera igualdad se da por ser $<tex>[T_{B'}]</tex>$ diagonalizable. En la segunda simplemente agrupamos. Por último podemos reemplazar de la siguiente manera:

$<tex>[S_{B'}] = P D_S P^{-1}</tex>$ con $<tex>D_S = {D_T}^5 + 2 D_T</tex>$

De aquí sacamos que: [list]- Los autoespacios de $<tex>S</tex>$ son los mismos que los de $<tex>T</tex>$ . - Un autovalor $<tex>\lambda_S</tex>$ de $<tex>S</tex>$ es $<tex>\lambda_S = \lambda^5+2\lambda</tex>$ siendo $<tex>\lambda</tex>$ un autovalor de $<tex>T</tex>$ .[/list] Luego los autovalores de $<tex>S</tex>$ son $<tex>\lambda_{S1}=-3, \ \lambda_{S2} = 3, \ \lambda_{S3} = -3</tex>$ y los autoespacios asociados son: $<tex>{\mathcal S}_{\lambda_{S1}} = gen \left\{ C_{B'}^{-1} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) , C_{B'}^{-1} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right\} = gen \left\{ v_1 + v_2 , v_2 - v_3 \right\}</tex>$ $<tex>{\mathcal S}_{\lambda_{S2}} = gen \left\{ C_{B'}^{-1}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) \right\} = gen \left\{ v_1 + 3 v_2 + 2 v_3 \right\}</tex>$

Coloquio 21/12/2005

Enunciado

Resolución Ejercicio 1)

Resolución Ejercicio 2)

Resolución Ejercicio 3)

Resolución Ejercicio 4)