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\setlength{\oddsidemargin}{in}
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\input{tcilatex}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
\parindent=0em

\begin{document}


\setcounter{page}{1}

\begin{center}
{\LARGE Matrices (Repaso de algunas propiedades)}

\bigskip \bigskip

{\normalsize Última edición: 09/11/2009}

\bigskip 
\end{center}

\section{Inversa de una matriz}

\bigskip 

Una matriz cuadrada $A\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{nxn}$ es inversible si existe $B\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{nxn}$ tal que $AB=BA=I.$

Cuando $B$ existe, es única y la notamos: $B=A^{-1}.$

Para el cálculo de una matriz inversa podemos utilizar el \textit{método de
Gauss-Jordan. }Para ello se considera la matriz $(A$\TEXTsymbol{\vert}$I_{n})
$ y se realizan aquellas operaciones elementales por filas que consigan
transformar la matriz $A$ en la matriz $I_{n}$, de esta forma la matriz $%
I_{n}$ se habrá transformado en $A^{-1}$. Es decir, se han de realizar
operaciones elementales por filas de forma que. 
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

\begin{center}
$(A$\TEXTsymbol{\vert}$I_{n})\approx ...\approx (I_{n}$\TEXTsymbol{\vert}$%
A^{-1})$ 
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion
\end{center}

Por ejemplo:

Sea la matriz A = \left( {%
\begin{array}{*{20}c}
   2 & 1 & { - 1}  \\
   { - 3} & { - 1} & 2  \\
   { - 2} & 1 & 2  \\

 \end{array}}\right) 
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

\left( {%
\begin{array}{*{20}c}
   2 & 1 & { - 1} & 1 & 0 & 0  \\
   { - 3} & { - 1} & 2 & 0 & 1 & 0  \\
   { - 2} & 1 & 2 & 0 & 0 & 1  \\

 \end{array}}\right)  $\sim $ \left( {%
\begin{array}{*{20}c}
   2 & 1 & { - 1} & 1 & 0 & 0  \\
   { - 1} & 0 & 1 & 1 & 1 & 0  \\
   0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1  \\

 \end{array}}\right)  $\sim $ \left( {%
\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0 & { - 1} & { - 1} & { - 1} & 0  \\
   2 & 1 & { - 1} & 1 & 0 & 0  \\
   0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1  \\

 \end{array}}\right)  $\sim $ 
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

\left( {%
\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0 & { - 1} & { - 1} & { - 1} & 0  \\
   0 & 1 & 1 & 3 & 2 & 0  \\
   0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1  \\

 \end{array}}\right)  $\sim $ \left( {%
\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0 & { - 1} & { - 1} & { - 1} & 0  \\
   0 & 1 & 1 & 3 & 2 & 0  \\
   0 & 0 & { - 1} & { - 5} & { - 4} & 1  \\

 \end{array}}\right)  $\sim $ \left( {%
\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0 & 0 & 4 & 3 & { - 1}  \\
   0 & 1 & 0 & { - 2} & { - 2} & 1  \\
   0 & 0 & 1 & 5 & 4 & { - 1}  \\

 \end{array}}\right)  
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

De esta forma A^{ - 1} = \left( {%
\begin{array}{*{20}c}
     4 & 3 & { - 1} \\
     { - 2} & { - 2} & 1 \\
     5 & 4 & { - 1} \\
     \end{array} } \right)

\subsection{Propiedades%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion
}

$\bullet $ $(A.B)^{-1}=B^{-1}.A^{-1}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\bullet $ $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\bullet $ $(A^{-1})^{-1}=A$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\bullet $ $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}adj(A)$ (ver siguiente sección)

\section{Determinante de una matriz}

\bigskip 

Se define el \textit{determinante} \ de $A$ como la suma de todos los
productos elementales con signos tomados de $A$.

Notamos: $\ \ det(A)=\left\vert A\right\vert =\sum \pm
a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}.....a_{nj_{n}}$

donde $(j_{1},j_{2},...,j_{n})$ es una permutación de $\{1,2,...,n\}$, y el
signo + o - depende si la permutación $(j_{1},j_{2},...,j_{n})$ es
respectivamente par o impar.

\subsection{Desarrollo del determinante por cofactores}

\textit{Desarrollo a lo largo de la j-ésima columna:}

$\quad det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+...+a_{nj}C_{nj}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

\textit{Desarrollo a lo largo de la i-éisma fila:}

$\quad det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+...+a_{in}C_{in}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

donde $C_{ij}=(-1)^{1+j}M_{ij}$ se lo llama \textit{cofactor del elemento} $%
a_{ij}.$ $M_{ij}$ es el \textit{menor del elemento} $a_{ij}$ y se lo define
como el determinante de la submatriz que queda al eliminar de $A$ la i-ésima
fila y la j-ésima columna.

Si $A\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{nxn}$ y $C_{ij}$ es el \textit{cofactor del elemento} $a_{ij}$ entonces la
matriz

\begin{center}
$\left( 
\begin{array}{cccc}
C_{11} & C_{21} & ... & C_{n1} \\ 
C_{12} & C_{22} & ... & C_{n2} \\ 
... & ... &  & ... \\ 
C_{1n} & C_{21} & ... & C_{nn}%
\end{array}%
\right) $%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion
\end{center}

se conoce como \textbf{matriz adjunta de }$A$\textbf{, }y se denota $adj(A)$ 
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

Ejemplos:

Si $A\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{2x2}$ tal que $A=\left( 
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
c & d%
\end{array}%
\right) $ $\implies $ \ $adj(A)=\left( 
\begin{array}{cc}
d & -b \\ 
-c & a%
\end{array}%
\right) $%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

Si $A\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{3x3}$ tal que \textbf{A} = 
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ 
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ 
A_{31} & A_{32} & A_{33}%
\end{pmatrix}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\implies $ \ {\text{adj}}({\textbf{A}}) = \left( {%
\begin{array}{*{20}c}
   { + \left| {\begin{array}{*{20}c}
   {A_{22} } & {A_{23} }  \\
   {A_{32} } & {A_{33} }  \\

 \end{array} } \right|} & { - \left| {\begin{array}{*{20}c}
   {A_{21} } & {A_{23} }  \\
   {A_{31} } & {A_{33} }  \\

 \end{array} } \right|} & { + \left| {\begin{array}{*{20}c}
   {A_{21} } & {A_{22} }  \\
   {A_{31} } & {A_{32} }  \\

 \end{array} } \right|}  \\
   {} & {} & {}  \\
   { - \left| {\begin{array}{*{20}c}
   {A_{12} } & {A_{13} }  \\
   {A_{32} } & {A_{33} }  \\

 \end{array} } \right|} & { + \left| {\begin{array}{*{20}c}
   {A_{11} } & {A_{13} }  \\
   {A_{31} } & {A_{33} }  \\

 \end{array} } \right|} & { - \left| {\begin{array}{*{20}c}
   {A_{11} } & {A_{12} }  \\
   {A_{31} } & {A_{32} }  \\

 \end{array} } \right|}  \\
   {} & {} & {}  \\
   { + \left| {\begin{array}{*{20}c}
   {A_{12} } & {A_{13} }  \\
   {A_{22} } & {A_{23} }  \\

 \end{array} } \right|} & { - \left| {\begin{array}{*{20}c}
   {A_{11} } & {A_{13} }  \\
   {A_{21} } & {A_{23} }  \\

 \end{array} } \right|} & { + \left| {\begin{array}{*{20}c}
   {A_{11} } & {A_{12} }  \\
   {A_{21} } & {A_{22} }  \\

 \end{array} } \right|}  \\

 \end{array} } \right)

\subsection{Propiedades}

$\bullet $ Si $A^{\prime }$ es la matriz que se obtiene cuando una sola fina
de $A$ se multiplica por una constante $k$, entonces $\det (A^{\prime
})=k\det (A)$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\bullet $ Si $A^{\prime }$ es la matriz que se obtiene al intercambiar dos
filas de $A$, entonces $\det (A^{\prime })=-\det (A)$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\bullet $ Si $A^{\prime }$ es la matriz que se obtiene al sumar un múltiplo
de una de las filas de $A$ a otra fila, entonces $\det (A^{\prime })=\det (A)
$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\bullet $ Si $A\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{nxn}$, entonces $\det (A^{T})=\det (A)$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\bullet $ Si $A\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{nxn},B\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{nxn}$ y $k\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
,$ entonces:\qquad $\det (kA)=k^{n}\det (A)$ ;\ $\det (AB)=\det (A).\det (B)$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\bullet $ Si $A$ es una matriz triangular de $nxn$, entonces $det(A)$ es el
producto de los elementos de la diagonal, es decir: $%
det(A)=a_{11}a_{22}...a_{nn}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\bullet $ $A$ es inversible si y sólo si $\det (A)\neq 0$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\bullet $ Si $A$ es inversible, entonces $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\bullet $ Si $A$ es inversible, entonces $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}adj(A)$

\subsection{Regla de Sarrus}

La regla de Sarrus es un método de fácil memorización para calcular el
determinante de una matriz 3\times 3.%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

Considérese la matriz de 3\times 3 \ A = 
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}%
\end{pmatrix}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:

En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha
de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los
productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los
productos de las diagonales ascendentes (en trazos)

Esto resulta en:%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

A = 
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}%
\end{vmatrix}
=
a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}

\FRAME{ftpFU}{3.0943in}{1.4961in}{0pt}{\Qcb{La regla de Sarrus: diagonales
continuas y en trazos}}{}{Figure}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width
3.0943in;height 1.4961in;depth 0pt;original-width 3.704in;original-height
1.7781in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
'KRA9QZ00.bmp';tempfile-properties "XPR";}}

\bigskip \qquad 

\section{Regla de Cramer}

\bigskip 

Si $Ax=b$ es un sistema de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas tal que $%
det(A)\neq 0$, entonces la única solución del sistema es $%
(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ con:

\begin{center}
$x_{1}=\frac{\det (A_{1})}{\det (A)},x_{2}=\frac{\det (A_{2})}{\det (A)}%
,.....,x_{n}=\frac{\det (A_{n})}{\det (A)}$
\end{center}

donde $A_{j}$ es la matriz que se obtiene al reemplazar la jésima columna de 
$A$ por $b.$

\end{document}

\documentclass[12pt]{article}
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\input{tcilatex}
\begin{document}

\title{Complejos}
\author{by gira}
\date{09/10/2009}
\maketitle

Tenemos dos tipos de espacios vectoriales complejos:

\section{1. \protect\underline{$%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{n}$ como $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$-espacio vectorial}}

($%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{n},+,%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
,.)$

En este caso la forma de los vectores depender\'{a} de la dimensi\'{o}n del
espacio, es decir, de $n$. Veamos un par de ejemplos:

\subsection{\protect\underline{$n=1$}:}

Base can\'{o}nica: $E(%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{1})=\left\{ 1,i\right\} $, \ $dim(%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{1})=2$

Sea $z\in 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{1}$ entonces es de la forma: $z=k_{1}.1+k_{2}.i$ $\ \ \forall
k_{1},k_{2}\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$

En realidad a este z se lo puede escribir de varias formas:

\subsubsection{\textit{Forma cartesiana:} $z=a+bi$}

donde definimos $a=Re(z),$ $b=Im(z)$ reales.

Podemos graficar a $z$ en el plano complejo:

\bigskip $\overset{}{\FRAME{itbpF}{2.973in}{2.4515in}{-2.6786pt}{}{}{%
numeros-complejos_image082.gif}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width
2.973in;height 2.4515in;depth -2.6786pt;original-width
3.1892in;original-height 2.6253in;cropleft "0";croptop "1";cropright
"1";cropbottom "0";filename 'numeros-complejos_image082.gif';file-properties
"XNPEU";}}}$

siendo $\left\vert z\right\vert =\sqrt{a^{2}+b^{2}},$ $\arg (z)=\alpha $ tal
que $tg(\alpha )=\frac{sen\alpha }{\cos \alpha }=\frac{b}{a}$

\subsubsection{\textit{Forma polar: \ }$z=\left\vert z\right\vert (\cos 
\protect\alpha +isen\protect\alpha )$}

\subsubsection{\textit{Forma Exponencial: \ }$z=\left\vert z\right\vert e^{i%
\protect\alpha }$}

Esta \'{u}ltima se deduce de la \textit{f\'{o}rmula de Euler} que dice: $%
e^{i\alpha }=\cos \alpha +isen\alpha $

(adem\'{a}s, se puede observar que $\ e^{z}=e^{a}(\cos b+isenb)$)

\subsection{\protect\underline{$n=2$}:}

Base can\'{o}nica: $E(%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{2})=\left\{ (1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\right\} $, \ $dim(%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{2})=4$

Sea $z\in 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{2}$ entonces es de la forma: $%
z=k_{1}(1,0)+k_{2}(i,0)+k_{3}(0,1)+k_{4}(0,i) $ $\ \ \forall
k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$

Luego, para $n=3$\ la base can\'{o}nica ser\'{a} como la de $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{3}$ sumandole los tres vectores con $i$ hac\'{\i} como hicimos para $n=2$,
y as\'{\i} sucesivamente para los siguientes $n,$

\bigskip 

\bigskip 

\bigskip 

\bigskip 

\section{2. \protect\underline{$%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{n}$ como $%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
$-espacio vectorial}}

($%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{n},+,%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
,.)$

Veamos algunos ejemplos:

\subsection{\protect\underline{$n=1$}:}

Base can\'{o}nica: $E(%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{1})=\left\{ 1\right\} $, \ $dim(%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{1})=1$

Sea $z\in 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{1}$ entonces es de la forma: $z=k_{1}.1$ $\ \ \forall k_{1}\in 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
$

\subsection{\protect\underline{$n=2$}:}

Base can\'{o}nica: $E(%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{2})=\left\{ (1,0),(0,1)\right\} $, \ $dim(%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{2})=2$

Sea $z\in 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{2}$ entonces es de la forma: $z=k_{1}(1,0)+k_{2}(0,1)$ $\ \ \forall
k_{1},k_{2}\in 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
$

\bigskip Luego, para $n=3$\ la base can\'{o}nica ser\'{a} como la de $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{3}$ haci como en $n=2$, y as\'{\i} para los siguientes $n.$

\bigskip

\end{document}

\documentclass[12pt]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\input{tcilatex}
\begin{document}

\title{Transformaciones Lineales}
\author{by gira}
\date{10/10/2009}
\maketitle

\section{1. \textbf{Definici\'{o}n}}

Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales, entonces la funci\'{o}n $%
T:V\rightarrow W$ es una transformaci\'{o}n lineal si verifica:

$a_{1})$ $T(u+v)=T(u)+T(v)$ $\ \forall $ $u,v\in V$

$a_{2})$ $T(\alpha u)=\alpha T(u)$ $\ \forall $ $u\in V$ $\wedge $ $\forall $
$\alpha \in \Bbbk $

\subsection{\textbf{Propiedades:}}

$(i)$ $T(0_{V})=0_{W}$

$(ii)$ $T\left( \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}\alpha _{i}v_{i}\right) =%
\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}\alpha _{i}T(v_{i})$ \textit{\ (Linealidad)%
}

\section{2. \textbf{N\'{u}cleo}}

$Nu(T)=\{v\in V$ $/$ $T(v)=0_{W}\}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

$Nu(T)$ es subespacio de $V.$

\FRAME{ihF}{2.9854in}{1.7358in}{0in}{}{}{núcleo.jpg}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
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0in;original-width 2.9439in;original-height 1.7005in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1.0002";cropbottom "0";filename 'Núcleo.jpg';file-properties
"XNPEU";}}

\section{3. I\textbf{magen}}

$\func{Im}(T)=\{w\in W$ / $w=T(v),$ con $v\in V\}$

$\func{Im}(T)$ es subespacio de $W.$

\FRAME{itbhF}{3.0454in}{1.8514in}{0in}{}{}{imagen.jpg}{\special{language
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"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'Imagen.jpg';file-properties
"XNPEU";}}

\section{4. \textbf{Teorema de la Dimensi\'{o}n}}

Sea $T:V\rightarrow W$, $\dim (V)=n$ (finita), entonces:

$\dim (Nu(T))+\dim (\func{Im}(T))=\dim (V)=n$

\subsection{\textbf{Propiedades:}}

Sea $T:V\rightarrow W,$ TL \ $($otra notaci\'{o}n es $T\in \tciLaplace
(V,W)):$

$\bullet $ Si $\{v_{1},v_{2},.....v_{q}\}$ genera $V$ $\Longrightarrow $ $%
\{T(v_{1}),T\left( v_{2}\right) ,.....T\left( v_{q}\right) \}$ genera $\func{%
Im}(T)$

\textbf{Obs. 1: }$T(v_{1}),T\left( v_{2}\right) ,.....T\left( v_{q}\right) $ 
$\in $ $\func{Im}(T)$

\textbf{Obs. 2: }Cualquier $w\in $ $\func{Im}(T)$ puede expresarse como
combinaci\'{o}n lineal de $T(v_{1}),T\left( v_{2}\right) ,.....T\left(
v_{q}\right) $

$\bullet $ $\{T(v_{1}),T\left( v_{2}\right) ,.....T\left( v_{q}\right) \}$
es LI $\implies $ $\{v_{1},v_{2},.....v_{q}\}$ es LI

\section{5. \textbf{Clasificaci\'{o}n}}

Sea $T\in \tciLaplace (V,W)$ TL $:$

$-$ $T$ es \textit{inyectiva} (monomorfismo) si verifica: $v_{1}\neq
v_{2}\implies T(v_{1})\neq T(v_{2})$

$-$ $T$ es \textit{sobreyectiva} (epimorfismo) $\Longleftrightarrow $ $\func{%
Im}(T)=W$

$-$ $T$ es \textit{biyectiva} (isomorfismo) $\Longleftrightarrow $ $T$ es
inyectiva y sobreyectiva

\subsection{\textbf{Propiedades:}}

$\bullet $ $T$ es monomorfismo $\iff $ $Nu(T)=\{0_{V}\}$

$\bullet $ Si $T$ es monomorfismo $\implies $ $\dim (V)\leq \dim (W)$

$\bullet $ Si $T$ es monomorfismo y $\{v_{1},v_{2},.....v_{q}\}\subset V$ es
LI $\implies $ $\{T(v_{1}),T\left( v_{2}\right) ,.....T\left( v_{q}\right) \}
$ es LI

$\bullet $ Si $T$ es epiomorfismo $\implies $ $\dim (W)\leq \dim (V)$

$\bullet $ Si $T$ es isomorfismo $\implies $ $\dim (W)=\dim (V)$

$\bullet $ Si $V$ y $W$ son de dimensi\'{o}n \textbf{finita }entonces $T$ es
isomorfismo $\iff $ $\dim (W)=\dim (V)$

$\bullet $ Si $T$ es isomorfismo $\implies $ $\exists $ $T^{-1}:W\rightarrow
V$ (Transformaci\'{o}n Inversa)

\section{6. \textbf{Transformaciones Matriciales}}

Una transformaci\'{o}n matricial es del tipo: $T:\Bbbk ^{n}\rightarrow \Bbbk
^{m},$ $T(x)=Ax,$ $A\in \Bbbk ^{mxn}$

Veamos un par de propiedades:

$\bullet $ $x\in Nu(T)\Longleftrightarrow $ $T(x)=0\Longleftrightarrow $ $%
Ax=0\Longleftrightarrow $ $x\in Nul(A)$

$\bullet $ $y\in \func{Im}(T)\Longleftrightarrow $ $T(x)=y%
\Longleftrightarrow $ $Ax=y\Longleftrightarrow $ $y\in Col(A)$

De aqu\'{\i} deducimos que para las transformaciones matriciales se cumple
que:

\underline{$Nu(T)=Nul(A)$}

\underline{$\func{Im}(T)=Col(A)$}

Ahora, aplicando el \textit{teorema de la dimensi\'{o}n}:

\underline{$\dim (Nul(A))+\dim (Col(A))=\dim (\Bbbk ^{n})=n$}

\textbf{Obs.\ 1:} $\dim (Col(A))$ es el llamado \textit{rango de }$\mathit{A}
$\textit{\ }$\Longrightarrow $ $\dim (Nul(A))=n-rg(A)$

\textbf{Obs.\ 2:} $n$ es el n\'{u}mero de columnas de $A$

\section{7. \textbf{Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales
(TFTL)}}

Sea $B=\{v_{1},v_{2},.....v_{n}\}$ base de $V$ y

$w_{1},w_{2},....,w_{n}$ vectores de $W$ (iguales o distintos)

entonces, existe una \textbf{\'{u}nica} Transformaci\'{o}n Lineal $%
T:V\rightarrow W$ tal que:

$\left\{ 
\begin{array}{c}
T\left( v_{1}\right) =w_{1}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ 
T\left( v_{2}\right) =w_{2}\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ 
\ \ \ \ \ \ \vdots \text{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ 
T\left( v_{n}\right) =w_{n}\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ }%
\end{array}%
\right\vert 
\begin{array}{c}
\bullet \text{ Existencia de T} \\ 
\bullet \text{ Linealidad de T} \\ 
\bullet \text{ Unicidad\ de T \ }%
\end{array}%
$

\section{\textbf{8. Composicion de Transformaciones Lineales}}

Sean las transformaciones Lineales:

$F:U\rightarrow V$

$G:V\rightarrow W$

entonces la composici\'{o}n $G$ $o$ $F$ $:$ $U\rightarrow W$ es transformaci%
\'{o}n lineal, tal que

$G$ $o$ $F$ $(u)=G(F(u))$ \ \ $\forall $ $u\in U$

\textbf{Propiedades:}

$\bullet $ $Nu(F)\subseteq Nu(G$ $o$ $F)$

$\bullet $ $Nu(F)=Nu(G$ $o$ $F)\iff $ $G$ es monomorfismo (inyectiva) $\iff $
$Nu(G)=\left\{ 0_{V}\right\} $

\section{9. \textbf{Transformaci\'{o}n Inversa}}

Sea $T:V\rightarrow W$ isomorfismo $\Longrightarrow $ $\exists $ $%
T^{-1}:W\rightarrow V$ / $T^{-1}(w)=v\iff T(v)=w$

\subsection{\textbf{Propiedades:}}

$\bullet $ $T^{-1}$ es una TL biyectiva

$\bullet $ $T^{-1}$ $o$ $T=Id_{V}$ \ \ $\ \ \ \ \left( T^{-1}oT(v)=v\right) $

$\bullet $ $T$ $o$ $T^{-1}=Id_{W}$ $\ \ \ \ \ \left( T^{-1}oT(w)=w\right) $

\section{10. \textbf{Matriz asociada a una Transformaci\'{o}n Lineal}}

Sea $T:V\rightarrow W$ \ TL

$B=\{v_{1},v_{2},.....v_{n}\}$ base de $V$

$B=\{w_{1},w_{2},.....w_{m}\}$ base de $W$

$\left[ T\right] _{BB^{\prime }}=\left[ 
\begin{array}{c}
\text{ \TEXTsymbol{\vert}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \TEXTsymbol{\vert}\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \TEXTsymbol{\vert}\ \ \ } \\ 
C_{B^{\prime }}(T(v_{1}))\ \ C_{B^{\prime }}(T(v_{2}))......C_{B^{\prime
}}(T(v_{n})) \\ 
\text{\TEXTsymbol{\vert} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \TEXTsymbol{\vert}\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \TEXTsymbol{\vert}\ \ }%
\end{array}%
\right] $ \ \ $\in \Bbbk ^{mxn}$

es la matriz asociada a $T.$

\ $\left[ T\right] _{BB^{\prime }},C_{B}(v)=C_{B^{\prime }}(T(v))$

$V\overset{T}{\longrightarrow }W$

$v\overset{T}{\longrightarrow }T(v)=w$

$C_{B}(v)$ $\overset{\left[ T\right] _{BB^{\prime }}}{\longrightarrow }$ $%
C_{B^{\prime }}(T(v))=C_{B^{\prime }}(w)$

\subsection{\textbf{Propiedades:}}

$\bullet $ Si $T$ es isomorfismo $\implies $ $\exists $ $\left[ T^{-1}\right]
_{BB^{\prime }}=\left[ T\right] _{BB^{\prime }}^{-1}$

$\bullet $ $T:V\rightarrow W$ TL,

$B$ base de $V$

$C$ base de $W$

$\cdot $ $v\in Nu(T)\iff C_{B}(v)\in Nul(\left[ T\right] _{BC})$

$\cdot $ $v\in \func{Im}(T)\iff C_{C}(T(v))\in Col(\left[ T\right] _{BC})$

$\cdot $ $rg(\left[ T\right] _{BC})=\dim (\func{Im}(T))$

$\cdot $ $\left\{ 
\begin{array}{c}
B^{\prime }\text{ base de }V\text{ \ \ \ \ \ \ } \\ 
C^{\prime }\text{ base de }W\text{ \ \ \ \ \ }%
\end{array}%
\right. \implies rg(\left[ T\right] _{BC})=rg(\left[ T\right] _{B^{\prime
}C^{\prime }})$

$\bullet $ $T:V\rightarrow W$ TL,

$B$ y $D$ bases de $V$

$B\prime $ y $D\prime $ bases de $W$

$A=\left[ T\right] _{BB^{\prime }}$

\ $M=\left[ T\right] _{DD^{\prime }}$

$\implies \left[ T\right] _{DD^{\prime }}\mathbf{=C}_{B^{\prime }D^{\prime }}%
\left[ T\right] _{BB^{\prime }}\mathbf{C}_{DB}$

$\ \ \ C_{B}(v)$ \ \ $\overset{A}{\longrightarrow }$ $\ \ \ C_{B^{\prime
}}(T(v))$ $\ $

$C_{BD}$ $\uparrow $ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \downarrow $ $%
C_{B^{\prime }D^{\prime }}$ \ (Cuadrito did\'{a}ctico)

$\ \ \ C_{D}(v)$ $\ \ \overset{M}{\longrightarrow }$ $\ $\ $\ C_{D^{\prime
}}(T(v))$

\end{document}

\documentclass[12pt]{article}
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\input{tcilatex}
\begin{document}

\title{Producto Interno}
\author{by gira}
\date{10/10/2009}
\maketitle

\section{1. Definici\'{o}n}

Sea $V$ un $%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
$-espacio vectorial, y sean $u\in V,$ $v\in V,$ $w\in V$ y $\alpha \in 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
$ , entonces \newline
$(\cdot ,\cdot ):V_{%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
}$x$V_{%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
}\rightarrow 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
$ es un \textit{producto interno} (pi) en $V$ si se cumplen los siguientes
axiomas:

$a_{1})$ $\ (u,v)=\overline{(v,u)}$ \ \ \ $\vee $ \ \ \ $(u,v)=(v,u)\ \ $si $%
V$ es $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$-ev

$a_{2})$ $\ (u+v,w)=(u,w)+(v,w)$

$a_{3})$ $\ (\alpha u,v)=\overline{\alpha }(u,v)$ \ \ \ $\vee $ \ \ \ $%
(\alpha u,v)=\alpha (u,v)\ \ $si $V$ es $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$-ev

$a_{3})$ $\ (u,u)>0$ \ \ \ $\wedge $ \ \ \ $(u,u)=0$ \ \ $\iff $ \ \ $%
u=0_{V} $

\section{2. Propiedades del pi}

$(i)$ $\ (u,v+w)=(u,v)+(u,w)$

$(ii)$ $\ (u,\alpha v)=\alpha (u,v)\ $

$(iii)$ $\ (v,0_{V})=0$

\subsection{El producto interno can\'{o}nico (pic)}

En $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}:(u,v)=u^{T}v$

En $%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{n}:(u,v)=u^{H}v=\overline{(u^{T})}v$

En $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{nxn}:(A,B)=\overset{n}{\underset{j=1}{\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}}}%
a_{ij}b_{ij}$

\section{3. Norma y distancia}

Sea $V$ un $EVPI$ (espacio vectorial con prod. int.), se define como \textit{%
norma} al n\'{u}mero real

$\left\Vert u\right\Vert =(u,u)$

y la \textit{distancia} entre dos elementos $u$ y $v$ de $V$ se define como:

$d(u,v)=\left\Vert v-u\right\Vert $

\subsection{3.1. Propiedades de la norma}

$(i)$ $\ \left\Vert u\right\Vert >0$ $\ \ \wedge $ $\ \ \left\Vert
u\right\Vert =0$ $\ \iff $ $\ \ u=0_{V}$

$(ii)$ $\ \left\Vert ku\right\Vert =\left\vert k\right\vert \left\Vert
u\right\Vert $ \ \ $(k\in K)$

$(iii)$ $\ \left\Vert u+v\right\Vert \leq \left\Vert u\right\Vert
+\left\Vert v\right\Vert $ \ \ (Desigualdad Triangular)

\section{4. Desigualdad de Cauchy-Schwarz}

Ver apunte 7.

\section{5. Ortogonalidad}

\subsection{5.1. Definici\'{o}n}

Dos elementos $u$ y $v$ de $V$ ($EVPI)$ son ortogonales $\iff $ $\ (u,v)=0$

\textbf{Atenci\'{o}n:} La ortogonalidad depende del producto interno del
correspondiente espacio vectorial

\subsection{5.2. Propiedad Pitag\'{o}rica}

Si u y v son ortogonales $\implies $ \ $\left\Vert u+v\right\Vert
^{2}=\left\Vert u\right\Vert ^{2}+\left\Vert v\right\Vert ^{2}$

Si el espacio vectorial es Real entonces se cumple el "si y solo si".

\subsection{5.3. Conjuntos Ortogonales}

\underline{Definici\'{o}n:} $\{u_{1},u_{2},....,u_{r}\}$ \ es un conjunto
ortogonal $\iff $ \ $(u_{i},u_{j})=0$ \ \ $\forall $ $i\neq j$

\underline{Propiedad:} Todo conjunto ortogonal que no contenga al $0_{V}$ es
LI

$B$ es una base ortogonal ($BOG$) si es base y es ortogonal

\subsection{5.4. Conjuntos Ortonormales}

\underline{Definici\'{o}n:} $\{u_{1},u_{2},....,u_{r}\}$ \ es un conjunto
ortonormal $\iff $ \ $\left\{ 
\begin{array}{c}
(u_{i},u_{j})=0\ \ \forall i\neq j\text{ \ \ \ \ \ } \\ 
\left\Vert u_{i}\right\Vert =1\text{ , \ }i=1,...,r%
\end{array}%
\right. $

$B$ es una base ortonormal ($BON$) si es base y es ortonormal

$\frac{v}{\left\Vert v\right\Vert }$ es llamado\textit{\ versor asociado a} $%
v$ y tiene norma 1.

\section{6. Matriz del Producto Interno (Matriz de Gram)}

Sea $B=\{u_{1},u_{2},....,u_{r}\}$ base de $V$ ($EVPI$), y sean $v$ y $w$ de 
$V,$ entonces:

$(v,w)=[v]_{B}^{H}.G_{B}.[w]_{B}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ //\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
Con la otra notaci\'{o}n: $(v,w)=C_{B}(v)^{H}.G_{B}.C_{B}(w)$

donde $G_{B}=\left( 
\begin{array}{cccc}
(u_{1},u_{1}) & (u_{1},u_{2}) & \cdots & (u_{1},u_{r}) \\ 
(u_{2},u_{1}) & (u_{2},u_{2}) & \cdots & (u_{2},u_{r}) \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
(u_{r},u_{1}) & (u_{r},u_{2}) & \cdots & (u_{r},u_{r})%
\end{array}%
\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\begin{array}{c}
\text{ }G_{B}\in K^{rxr}\text{ \ \ (Si }dim(V)=r\text{)} \\ 
\bullet \text{ Herm\'{\i}tica (Sim\'{e}trica)\ \ \ \ \ \ \ } \\ 
\bullet \text{ Definida Positiva\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ 
\bullet \text{ Inversible \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }%
\end{array}%
$

\subsection{6.1. Observaciones}

$\bullet $ $\ A\in 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{nxn}$ es \textit{herm\'{\i}tica} \ $\iff $ \ $A=A^{H}$ \ ($a_{ij}=%
\overline{a_{ji}}$)

$\bullet $ $\ A\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{nxn}$ es \textit{sim\'{e}trica} \ $\iff $ \ $A=A^{T}$ \ ($a_{ij}=a_{ji}$)

$\bullet $ $\ $Si $K=%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
$, entonces sea $A\in 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{nxn}$ herm\'{\i}tica $\implies $ \ $A$ es \textit{definida positiva} \ $%
\iff $ \ $x^{H}Ax\geq 0$ \ \ $\forall $ $x$ \ \ $\wedge $ \ $\ x^{H}Ax=0$ \ $%
\iff $ \ $x=0$

$\bullet $ $\ $Si $K=%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$, entonces sea $A\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{nxn}$ sim\'{e}trica $\implies $ \ $A$ es \textit{definida positiva} \ $%
\iff $ \ $x^{T}Ax\geq 0$ \ \ $\forall $ $x$ \ \ $\wedge $ \ $\ x^{T}Ax=0$ \ $%
\iff $ \ $x=0$

$\bullet $ $\ $Sea $A\in 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{nxn}$ ($%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{nxn})$ herm\'{\i}tica (sim\'{e}trica) $\implies $ \ $A$ es \textit{%
definida positiva} \ $\iff $ \ todos los subdeterminantes (o menores)
principales de $A$ son $>0$

$\bullet $ $\ $Sea $A\in 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
^{nxn}$ ($%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{nxn})$ herm\'{\i}tica (sim\'{e}trica) $\implies $ \ $A$ es \textit{%
definida positiva} \ $\iff $ \ todos los autovalores de $A$ son $>0$

\subsection{6.2. Casos Especiales}

$\bullet $ $B=\{g_{1},g_{2},....,g_{r}\}$ BOG de $V$ $\implies $ \ $%
G_{B}=\left( 
\begin{array}{cccc}
(g_{1},g_{1}) & 0 & \cdots & 0 \\ 
0 & (g_{2},g_{2}) & \cdots & 0 \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
0 & 0 & \cdots & (g_{r},g_{r})%
\end{array}%
\right) $ \ (Diagonal)

$\bullet $ $B=\{u_{1},u_{2},....,u_{r}\}$ BON de $V$ $\implies $ \ $G_{B}=I$
\ \ \ \ \ (pues $\left\Vert u_{i}\right\Vert =1$)

\section{7. Proyecciones Ortogonales}

Sea $V$ un $EVPI$, $S$ un subespacio de $V$ y $v\in V:$

\subsection{7.1. Definici\'{o}n}

$\widehat{v}$ es la proyecci\'{o}n de v sobre S $\iff $ \ $\left\{ 
\begin{array}{c}
\widehat{v}\in S\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ 
v-\widehat{v}\perp S\text{ \ \ }\vee \text{\ \ }(v-\widehat{v},w)=0\text{ \ }%
\forall \text{ }w\in S%
\end{array}%
\right. $

\underline{Notaci\'{o}n:}$\ \widehat{v}=\ p_{S}(v)$ \ \'{o} $\widehat{v}%
=p_{S}v$

\FRAME{ftbpF}{3.1292in}{2.1762in}{0in}{}{}{proyeccion.jpg}{\special{language
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0in;original-width 3.146in;original-height 2.1788in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'proyeccion.jpg';file-properties
"XNPEU";}}

\subsection{7.2. Propiedades}

$\bullet \ $Si existe la proyecci\'{o}n de $v$ sobre $S$ $\implies p_{S}(v)$
es \'{u}nica\ \ 

$\bullet $ \ $p_{S}(u+v)=p_{S}(u)+p_{S}(v)$

$\bullet $ \ $p_{S}(kv)=kp_{S}(v)$

$\bullet $\ \ $p_{S}(v)=v$ \ $\iff $ $v\in S$

$\bullet $\ \ $p_{S}(v)=0_{V}$ \ $\iff $ $v\perp S$

\subsection{7.3. F\'{o}rmula de proyecci\'{o}n}

Sea $S$ un subespacio de $V$ y $B=\{g_{1},g_{2},....,g_{r}\}$ una BOG de S,
entonces:

$p_{S}(v)=\overset{r}{\underset{i=1}{\sum }}\frac{(g_{i},v)}{\left\Vert
g_{i}\right\Vert ^{2}}.g_{i}$

\underline{Caso particular:} Si $B=\{u_{1},u_{2},....,u_{r}\}$ es BON de S,
entonces:

$p_{S}(v)=\overset{r}{\underset{i=1}{\sum }}(u_{i},v).u_{i}$

\subsection{7.4. M\'{e}todo de Gram-Schmidt (Construcci\'{o}n de una BOG)}

Sea $S$ subespacio de $V$ y $B$ $=\{v_{1},v_{2},....,v_{r}\}$ base de S $%
\implies $ $\ \exists $ $B^{\prime }$ $=\{g_{1},g_{2},....,g_{r}\}$ BOG de S
donde:

$g_{1}=v_{1}$

$g_{i}=v_{i}-p_{S_{i-1}}(v_{i})$ \ donde $S_{i-1}=\{g_{1},....,g_{i-1}\}$
con $2\leq i\leq r$

\subsection{7.5. La proyecci\'{o}n como mejor aproximaci\'{o}n}

Sea $S$ subespacio de $V$ y $v\in V,$ si $\widehat{v}=p_{S}(v)$ resulta:

$d(v,\widehat{v})\leq d(v,w)$ \ $\forall $ $w\in S$ \ \ \ \ \ \ \ \ (\ $%
\left\Vert v-\widehat{v}\right\Vert \leq \left\Vert v-w\right\Vert $ )

es decir, $\widehat{v}$ es el vector de $S$ que est\'{a} "m\'{a}s cerca" de $%
v$ o "mejor aproxima" a $v$.

\subsubsection{7.5.1. Distancia de un vector a un subespacio}

$d(v,S)=\left\Vert v-\widehat{v}\right\Vert $ \ 

\subsection{7.6. Complemento Ortogonal}

\subsubsection{7.6.1. Definici\'{o}n}

Sea $S$ subespacio de $V$ $(EVPI)$ entonces el \textit{complemento ortogonal
de }$S$ se define como:

$S^{\perp }=\{v\in V$ / $(v,w)=0$ \ $\forall $ $w\in S\}$

$S^{\perp }$ es subespacio de $V.$

Si $S=gen\{v_{1},v_{2},....,v_{q}\}\subset V\implies S^{\perp }=\{v\in V$ / $%
(v,v_{1})=0,...,(v,v_{q})=0$ $\}$

\subsubsection{7.6.2. Propiedad}

Sea $S\subseteq V$ un subespacio de V tal que $\forall $ $v\in V$ existe $%
p_{S}(v)$

$\ \implies $ \ $S\oplus S^{\perp }=V$ \ \ \ \ \ \ ( $S\cap S^{\perp
}=\{0_{V}\}$ \ $\wedge $\ $\ S+S^{\perp }=\ V$\ )

\subsubsection{7.6.3. Corolarios}

$(i)$ \ Si $dim(S)$ es finita \ $\implies $ \ $\exists $ $p_{S}(v)$ \ $%
\forall $ $v\in V$ \ $\implies $ \ $S\oplus S^{\perp }=V$

$(ii)$ \ Si $dim(V)=n$ \ $\implies $ \ $dim(S\oplus S^{\perp
})=dim(S)+dim(S^{\perp })=n$

$(iii)$ \ Si $S\oplus S^{\perp }=V$ \ $\implies $ \ $(S^{\perp })^{\perp }=S$

$(iv)$ \ Si $S\oplus S^{\perp }=V$ \ $\implies $ \ $v=p_{S}(v)+p_{S^{\perp
}}(v)$ \ $\forall $ $v\in V$

\subsubsection{7.6.4. Casos Especiales}

$\bullet $ Si$\ S=Nul(A)=\{x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ / $Ax=0\}$,

En general, para \textit{p.i. can\'{o}nico}:

$x\in Nul(A)\iff Ax=0\iff (F_{i}^{T},x)=0\iff x\perp Fil(A)\iff x\in \lbrack
Fil(A)]^{\perp }$ \ $\implies $ \ \ \fbox{$Nul(A)=[Fil(A)]^{\perp }$}

$\implies S^{\perp }=Fil(A)$

$\bullet $ Si$\ S=Nul(A^{T})=\{x\in 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}$ / $A^{T}x=0\}$,

$Nul(A^{T})\perp Fil(A^{T})=Col(A)\implies $\fbox{$Nul(A^{T})=[Col(A)]^{%
\perp }$}  $\implies S^{\perp }=Col(A)$

\subsection{7.8. Matriz de Proyecci\'{o}n}

\underline{\textit{Atenci\'{o}n}}\textit{: A partir de ahora usamos s\'{o}lo
p.i. can\'{o}nico.}

Sea $V=K^{n}$ (p.i.c.), $S$ subespacio de $V:$

\subsubsection{7.8.1. Definici\'{o}n}

$P\in K^{n}$ es la \textit{matriz de proyecci\'{o}n sobre S} si $%
P.v=p_{S}(v) $ \ tal que $P=QQ^{H},$ con $Q=[u_{1}$ $u_{2}$ $.....$ $u_{r}]$
\ y $B=\{u_{1},u_{2},.....,u_{r}\}$ una BON de S.

\subsubsection{7.8.2. Propiedades}

$\bullet $ \ $P$ es \'{u}nica

$\bullet $ \ $Q=[u_{1}$ $u_{2}$ $.....$ $u_{r}]$ \ $\implies $ \ $%
Col(Q)=gen\{u_{1},u_{2},.....,u_{r}\}=S$

$\bullet $ \ $Q^{H}Q=I$

$\bullet $ \ $Col(P)=Col(Q)=S$

$\bullet $ \ $P^{H}=P$ (Herm\'{\i}tica) \ $\wedge $ \ $P^{2}=P$ (Idempotente)

\textbf{Obs: }$rg(P)=dim(S)=r$

\subsubsection{7.8.3. Relaci\'{o}n entre $P_{S}$ y $P_{S^{\perp }}$}

Si $P_{S}$ la matriz de proyecci\'{o}n sobre S y $P_{S^{\perp }}$ la matriz
de proyecci\'{o}n sobre $S^{\perp }$ entonces:

$v=p_{S}(v)+p_{S^{\perp }}(v)$ \ \ $\forall $ $v\in R^{n}$

$v=P_{S}.v+P_{S^{\perp }}.v$

$I.v=(P_{S}+P_{S^{\perp }}).v$ $\ \implies $ \ \ \ \fbox{$P_{S}+P_{S^{\perp
}}=I$}

\subsubsection{7.8.4. Un par de observaciones}

$\bullet $ \ $P.v\in Col(P)$ $\ \ \implies \ \ \ v-P.v\in \lbrack
Col(P)]^{\perp }$

$\bullet $ $\ P$ es inversible $\iff \det (P)\neq 0\iff $ $...\iff 
\underline{P=I}$

$\bullet $ $\ $Si $P\neq I$ \ $\implies $ \ \ $rg(P)\leq (n-1)$

$\bullet $ $\ P^{T}=P\implies Nul(P^{T})=[Col(P)]^{\perp }\implies
Nul(P)=[Col(P)]^{\perp }\implies \underline{Nul(P)\perp Col(P)}$

$\implies $\fbox{$Nul(P)\oplus Col(P)=R^{n}$}

\end{document}

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\input{tcilatex}
\begin{document}

\title{Cuadrados M\'{\i}nimos}
\author{by gira}
\date{09/10/2009}
\maketitle
\name{by gira}


Sean $A\in R^{mxn},$ $b\in R^{m}$ y $x\in R^{n}:$

el sistema $Ax=b$ $\ $entonces es compatible $\iff $ $b\in Col(A)$

Ahora, sea el sistema $Ax=b$ tal que $b\notin Col(A)$ (uno incompatible)
entonces queremos la soluci\'{o}n de este sistema $($un $\widehat{x})$ de
forma tal de encontrar un $\widehat{b}$ que perteneza al $\func{col}(A)$ y
sea lo m\'{a}s "parecido" a $b$ posible, o mejor dicho, de forma que el
vector $\widehat{b}$ sea el que m\'{a}s se aproxime a $b$ (y el "error" sea
el m\'{\i}nimo)$,$ es decir de forma que $\widehat{b}=p_{Col(A)}(b)$

\FRAME{itbpFU}{2.8867in}{1.599in}{0in}{\Qcb{Ejemplo en R3}}{}{c.m.jpg}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 2.8867in;height 1.599in;depth
0in;original-width 2.8435in;original-height 1.5627in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'c.m.jpg';file-properties "XNPEU";}%
}

El error $\varepsilon $ es igual a $\left\Vert b-\widehat{b}\right\Vert .$

Entonces el objetivo es encontrar la soluci\'{o}n a este sistema: $A\widehat{%
x}=\widehat{b}=p_{Col(A)}(b)$. La soluci\'{o}n $\widehat{x}$ recibe el
nombre de \textit{"soluci\'{o}n por cuadrados m\'{\i}nimos"} del sistema $%
Ax=b.$

Entonces veamos ahora como encontrar $\widehat{x}$ sin necesidad de calcular
la proyecci\'{o}n de $b$ sobre $Col(A):$

$A\widehat{x}=p_{Col(A)}(b)\iff \left\{ 
\begin{array}{c}
A\widehat{x}\in Col(A) \\ 
b-A\widehat{x}\perp Col(A)%
\end{array}%
\right. $

Recordemos que para matrices reales y con el prod.\ interno can\'{o}nico se
cumple que:

$\left[ Col(A)\right] ^{\perp }=Nul\left( A^{T}\right) $

$\implies $ $b-A\widehat{x}\in Nul\left( A^{T}\right) \implies A^{T}(b-A%
\widehat{x})=0\implies A^{T}b-A^{T}A\widehat{x}=0\iff $%
\begin{equation}
\fbox{$A^{T}A\widehat{x}=A^{T}b$}
\end{equation}

A este sistema se lo llama \textit{"Ecuaciones normales de cuadrados m\'{\i}%
nimos"}. La soluci\'{o}n de este sistema es la soluci\'{o}n por cuadrados m%
\'{\i}nimos que buscabamos.

Sin embargo todo no termina aqu\'{\i}. Para este sistema tenemos dos casos:
que sea compatible determinado \textbf{(SCD)} o compatible indeterminado 
\textbf{(SCI)}, y cada caso tiene sus propiedades; veamos:

\underline{Caso 1:} Si $A^{T}A$ es inversible, entonces no est\'{a} nada mal
que cambiemos el sistema a esta forma: $\widehat{x}=\left( A^{T}A\right)
^{-1}A^{T}b,$ De esta forma podemos afirmar que el sistema es compatible
determinado y la soluci\'{o}n es \'{u}nica. La matriz $A^{\text{\#}}=\left(
A^{T}A\right) ^{-1}A^{T}$ es llamada "matriz pseudoinversa de A".

Ahora, observen lo siguiente: Si $A^{T}A$ es inversible entonces como
recordar\'{a}n $rg(A^{T}A)=n,$ pero adem\'{a}s existe una propiedad que dice
que $rg(A^{T}A)=rg(A)$ (ver ej. 21 de la gu\'{\i}a), entonces este caso podr%
\'{\i}a resumirse de la siguiente forma:

Ecs. normales son SCD $\iff \widehat{x}$ es \'{u}nico $\iff $ $A^{T}A$ es
inversible $\iff rg(A^{T}A)=rg(A)=n\iff $ Las columnas de A son LI (o $%
det(A)\neq 0$, etc$)$ $\iff $ $\widehat{x}=\left( A^{T}A\right)
^{-1}A^{T}b\iff $ $\widehat{x}=A^{\text{\#}}b$

\textbf{Propiedades de la Pseudoinversa:}

1. $A^{\text{\#}}\in R^{nxm}$

2. $A^{\text{\#}}A=I$ \ \ \ \ \ \ (pues $A^{\text{\#}}A=\left( A^{T}A\right)
^{-1}A^{T}A=I)$

3. $AA^{\text{\#}}=P_{Col(A)}(b)$ \ \ \ (pues $\widehat{x}=A^{\text{\#}%
}b\rightarrow A\widehat{x}=AA^{\text{\#}}b\rightarrow p_{Col(A)}(b)=AA^{%
\text{\#}}b\rightarrow P_{Col(A)}(b)=AA^{\text{\#}})$

\bigskip

\underline{Caso 2:} Si $A^{T}A$ no es inversible, entonces $\widehat{x}$ no
es \'{u}nico y las ecs. normales son un SCI. Adem\'{a}s las columnas de A
son LD y su determinante es 0 (pues $rg(A)=$ $rg(A^{T}A)).$ Sin embargo
podemos encontrar una expresi\'{o}n de $\widehat{x}$ de la siguiente forma:

$\widehat{x}=\widehat{x}_{p}+\widehat{x}_{h}$

La soluci\'{o}n $\widehat{x}$ la podemos expresar como la suma de una
particular ($\widehat{x}_{p})$ y una homog\'{e}nea ($\widehat{x}_{h}).$ La
homog\'{e}nea ser\'{\i}a la soluci\'{o}n de $A^{T}A\widehat{x}=0,$ y la
particular es simplemente una soluci\'{o}n de las infinitas que hay. Podemos
observar entonces que $\widehat{x}_{h}\in Nul(A^{T}A),$ pero (ver ej. 21 de
la gu\'{\i}a) $Nul(A^{T}A)=Nul(A)$, entonces $\widehat{x}_{h}\in Nul(A)!.$

\textbf{Algunas propiedades a tener en cuenta:}

1. Sea $\widehat{x}$ soluci\'{o}n por cuadrados m\'{\i}nimos del sistema $%
Ax=b$ $\implies \left\Vert A\widehat{x}\right\Vert \leq \left\Vert
b\right\Vert $

2. $\widehat{x}=0$ es soluci\'{o}n por cuadrados m\'{\i}nimos del sistema $%
Ax=b\iff b\perp Col(A)$

\end{document}

\documentclass[19pt]{article}

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\begin{document}


\setcounter{page}{1}

\begin{center}
{\LARGE Autovalores y Autovectores - Diagonalización }

\bigskip \bigskip

{\normalsize Última edición: 09/11/2009}

\bigskip 
\end{center}

\section{Autovalores y Autovectores}

\bigskip

Sea $A\in K^{nxn}$ (matriz cuadrada):

\subsection{Definición}

$\lambda \in K$ es \textit{autovalor} (ava) de $A$ si existe $v\in K^{n},$
no nulo ($v\neq 0_{K^{n}}$) tal que \fbox{$A.v=\lambda v$}. $v$ se denomina
como \textit{autovector} (ave) de $A$ asociado al ava $\lambda .$

\subsection{Polinomio Característico}

$\lambda $ ava de $A\iff A.v=\lambda .v$ $\iff A.v-\lambda .v=0_{K^{n}}\iff
(A-\lambda I).v=0_{K^{n}}$ $\iff v\in Nul(A-\lambda I)\iff Nul(A-\lambda
I)\neq \left\{ 0_{K^{n}}\right\} $ (pues $v\neq 0_{K^{n}}$) $\iff \det
(A-\lambda I)=0$ (pues $rg(A-\lambda I)$ debe ser menor a $n$).%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

En conclusión: \fbox{$\lambda $ ava de $A\iff \det (A-\lambda I)=0$}$,$
donde $\det (A-\lambda I)$ se denomina como el \textit{polinomio caracterí%
stico} de $A$ y se denota como $p_{A}(\lambda )$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$p_{A}(\lambda )=\det (A-\lambda I)$ es un polinomio de grado $n$ y sus raí%
ces son los autovalores de $A$.%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

\textbf{Obs:} Algunos profesores escriben "$(\lambda I-A).v"$ en vez de "$%
(A-\lambda I).v"$, \ pero no es dificil ver que cualquiera de las dos formas
esta bien.%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

\textbf{Multiplicidad Algebraica:} Se la denota como $m_{a}(\lambda )$ y se
la denomina como la multiplicidad de $\lambda $ como raíz del polinomio
característico. (Es decir, si es raíz doble, simple, triple, etc.)

\subsubsection{Propiedades:}

$(a)$ Son equivalentes:

$a_{1}.$ $\lambda $ ava de $A$

$a_{2}.$ $\det (A-\lambda I)=0$

$a_{3}.$ $Nul(A-\lambda I)\neq \left\{ 0\right\} $

$a_{4}.$ $rg(A-\lambda I)<n$

$(b)$ Si $A\in K^{2x2}\longrightarrow \fbox{$p_{A}(\lambda )=\lambda
^{2}-\lambda .tr\left( A\right) +\det \left( A\right) $}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

dem) $p_{A}(\lambda )=\det (A-\lambda I)=\left( 
\begin{array}{cc}
a_{11}-\lambda & a_{12} \\ 
a_{21} & a_{22}-\lambda%
\end{array}%
\right) =\left( a_{11}-\lambda \right) \left( a_{22}-\lambda \right)
-a_{21}.a_{12}=\lambda ^{2}-\lambda
(a_{11}+a_{22})+a_{11}.a_{22}-a_{21}.a_{12}=\lambda ^{2}-\lambda .tr\left(
A\right) +\det \left( A\right) $

$(c)$ \fbox{$tr(A)=\underset{i=1}{\overset{n}{\dsum }}\lambda _{i}$}$%
=\lambda _{1}+\lambda _{2}+.......+\lambda _{n}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(d)$ $\fbox{$det(A)=\underset{i=1}{\overset{n}{\dprod }}\lambda _{i}$}%
=\lambda _{1}.\lambda _{2}........\lambda _{n}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

dem.b y c) Para 2x2: Si $\alpha _{1}$ y $\alpha _{2}$ son autovalores de $A$ 
$\longrightarrow p_{A}(\lambda )=(\lambda -\alpha _{1}).(\lambda -\alpha
_{2})=\lambda ^{2}-\lambda (\alpha _{1}+\alpha _{2})+\alpha _{1}.\alpha
_{2}\iff \alpha _{1}+\alpha _{2}=tr(A)$ $\wedge $ $\alpha _{1}.\alpha
_{2}=\det (A)$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(e)$ \fbox{$\lambda =0$ es ava de $A\iff \det (A)=0$} ($A$ singular) $\iff
rg(A)<n$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(f)$ Si $A$ es triangular (superior o inferior) $\longrightarrow $%
\underline{ sus avas son los elementos de la diagonal principal.}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

Ej.) Si $A=\left( 
\begin{array}{cc}
832 & 123 \\ 
0 & 321%
\end{array}%
\right) \longrightarrow $ avas de A: 832 y 321%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(g)$ Si $A$ es triangular por bloques $\longrightarrow $ $%
det(A)=de(A_{11}).\det (A_{22})$ siendo $A=\left( 
\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \\ 
0_{(n-p)xp} & A_{22}%
\end{array}%
\right) $ y $A$ de $nxn$, $A_{11}$ de $pxp$, $A_{12}$ de $px(n-p)$ $A_{22}$
de $(n-p)x(n-p)$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

Entonces $det(A-\lambda I)=det(A_{11}-\lambda I).\det (A_{22}-\lambda
I)\longrightarrow p_{A}(\lambda )=p_{A_{11}}(\lambda ).p_{A_{22}}(\lambda )$

$\longrightarrow $\fbox{$\lambda $ es ava de $A\iff \lambda $ es un ava de $%
A_{11}$ o de $A_{22}$}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

(y la suma de los avas de $A_{11}$ más los de $A_{22}$ nos da todos los avas
de $A$)

$(h)$ Si $A\in K^{nxn}\longrightarrow $\fbox{$m_{a}(\lambda
_{1})+m_{a}(\lambda _{2})+......+m_{a}(\lambda _{r})=n$} siendo $\lambda
_{i}\neq \lambda _{j}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(i)$ Sea $\lambda $ ava de $A$ y $v$ el ave de $A$ asociado a $\lambda
\longrightarrow A.v=\lambda .v\iff (A-\lambda I).v=0\iff $\fbox{$v\in
Nul(A-\lambda I)$}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

\subsection{Autoespacio Asociado}

Se define como el autoespacio de $A\in K^{nxn}$ (o subespacio propio de A)
asociado al autovalor $\lambda \in K$ a:%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

\fbox{$S_{\lambda }=Nul(A-\lambda I)$}$=\left\{ v\in K^{n}\text{ }/\text{ }%
A.v=\lambda v\right\} $%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

Este subespacio contiene a todos los autovectores de A asociados al
autovalor $\lambda $ y su dimensión se denomina \textit{multiplicidad geomé%
trica de }$\lambda .$ ($m_{g}(\lambda )$):%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

\fbox{$dim(S_{\lambda })=m_{g}(\lambda )$}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

\textbf{Observación: }$dim(Nul(A-\lambda I))+rg(A-\lambda
I)=n\longrightarrow rg(A-\lambda I)=n-m_{g}(\lambda )$

Si $rg(A-\lambda I)<n.\longrightarrow \det (A-\lambda I)=0\longrightarrow
\lambda $ es ava de $A$

\subsubsection{Propiedades%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion
}

$(a)$ \fbox{Aves asociados a avas distintos son LI}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

dem) Debemos demostrar que si $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\longrightarrow
\left\{ v_{1},v_{2}\right\} $ LI siendo $v_{1},v_{2}$ aves asociados a $%
\lambda _{1},\lambda _{2}$ respectivamente.

Entonces demostremos que $\alpha _{1}.v_{1}+\alpha _{2}.v_{2}=0\iff \alpha
_{1}=\alpha _{2}=0$

$\lambda _{2}.(\alpha _{1}.v_{1}+\alpha _{2}.v_{2})=0\longrightarrow \alpha
_{1}.\lambda _{2}.v_{1}+\alpha _{2}.\lambda _{2}.v_{2}=0$ (1)

$A.(\alpha _{1}.v_{1}+\alpha _{2}.v_{2})=0\longrightarrow \alpha
_{1}.A.v_{1}+\alpha _{2}.A.v_{2}=0\longrightarrow \alpha _{1}.\lambda
_{1}.v_{1}+\alpha _{2}.\lambda _{2}.v_{2}=0$ (2)

$(1)-(2):\alpha _{1}.(\lambda _{2}.v_{1}-\lambda
_{1}.v_{1})=0\longrightarrow \alpha _{1}.(\lambda _{2}-\lambda _{1}).v_{1}=0$
$;$ $v_{1}\neq 0$ y $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ $\longrightarrow 
\underline{\alpha _{1}=0}$

$\longrightarrow $ si $\alpha _{1}.v_{1}+\alpha _{2}.v_{2}=0$ $%
\longrightarrow $ $\alpha _{2}.v_{2}=0$ $\iff $ $\underline{\alpha _{2}=0}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(b)$ $\forall $ autovalor $\lambda $ de $A$ se cumple que: \fbox{$1\leq
m_{g}(\lambda )\leq m_{a}(\lambda )$}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(c)$ \fbox{La suma de autoespacios es directa.} Es decir, $S_{\lambda
_{1}}+S_{\lambda _{2}}+.....+S_{\lambda _{r}}=S_{\lambda _{1}}\oplus
S_{\lambda _{2}}\oplus .....\oplus S_{\lambda _{r}}=S$ con $\lambda _{i}\neq
\lambda _{j}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(d)$ Si $A\in K^{nxn}$ es diagonal por bloques, es decir $A=\left( 
\begin{array}{cc}
A_{11} & 0_{px(n-p)} \\ 
0_{(n-p)xp} & A_{22}%
\end{array}%
\right) $ con $A_{11}$ de $pxp$ y $A_{22}$ de $\left( n-p\right) x\left(
n-p\right) $ entonces:%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\quad d_{1}).$\fbox{Si $v\in K^{px1}$ es ave de $A_{11}\longrightarrow
\left( 
\begin{array}{c}
v \\ 
0_{(n-p)x1}%
\end{array}%
\right) $ es ave de $A.$}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

dem) $\left( 
\begin{array}{cc}
A_{11} & 0_{px(n-p)} \\ 
0_{(n-p)xp} & A_{22}%
\end{array}%
\right) .\left( 
\begin{array}{c}
v \\ 
0_{(n-p)x1}%
\end{array}%
\right) =\left( 
\begin{array}{c}
A_{11}.v \\ 
0_{px1}%
\end{array}%
\right) =\left( 
\begin{array}{c}
\lambda .v \\ 
0_{px1}%
\end{array}%
\right) =\lambda \left( 
\begin{array}{c}
v \\ 
0_{px1}%
\end{array}%
\right) \longrightarrow \left( 
\begin{array}{c}
v \\ 
0_{(n-p)x1}%
\end{array}%
\right) $%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

es ave de $A$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\quad d_{2}$)\fbox{Si $w\in K^{(n-p)x1}$ es ave de $A_{22}\longrightarrow
\left( 
\begin{array}{c}
0_{p} \\ 
w%
\end{array}%
\right) $ es ave de $A.$} (demostración similar)%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(e)$ \fbox{Si $A$\ es semejante a $B$ $\longrightarrow $ $A$ y $B$ tienen
los mismos autovalores.}

dem)%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

{\large Matrices Semejantes}

%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

Sean $A\in K^{nxn},$ $B\in K^{nxn}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

\textbf{Definición:} $A$\ es \textit{semejante} a $B$ si existe $P\in
K^{nxn} $ inversible tal que:\ $B=P^{-1}AP$ ó $A=PBP^{-1}$

Notación: $A$ $\sim $ $B$

Entonces sean A y B dos matrices semejantes, veamos que $p_{A}(\lambda
)=p_{B}(\lambda ):$

$p_{B}(\lambda )=\det (B-\lambda I)=\det (P^{-1}AP-\lambda I)$ $;$ sabiendo
que\ $I=P^{-1}IP=P^{-1}P=I$ :

$p_{B}(\lambda )=\det (P^{-1}AP-P^{-1}\lambda IP)=\det (P^{-1}(A-\lambda
I)P) $ ; y por propiedad del determinante $det(A.B)=det(A).det(B)$ :

$p_{B}(\lambda )=\det (P^{-1}).\det (A-\lambda I).\det (P)$ $;$ pero $%
det(P^{-1})=\frac{1}{\det (P)}$

$\longrightarrow p_{B}(\lambda )=\det (A-\lambda I)=$ $p_{A}(\lambda ).$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

\textbf{Recordar:} \fbox{Matrices semejantes tienen el mismo polinomio
característico}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

\textbf{Caso particular: }$[T]_{BB}=C_{B^{\prime }B}[T]_{B^{\prime
}B^{\prime }}C_{BB^{\prime }}$ . En este caso \fbox{$[T]_{BB}$ \symbol{126}$%
[T]_{B^{\prime }B^{\prime }}$} y $C_{B^{\prime }B}=\left( C_{BB^{\prime
}}\right) ^{-1}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

\textbf{Observar: }\fbox{Si $A$ $\sim $ $B$ entonces $det(A)=det(B)$ y $%
tr(A)=tr(B)$}, recordando que la traza es la suma de los autovalores, etc.%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
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\smallskip%
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\bigskip%
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\bigskip%
%EndExpansion

\section{Diagonalización}

\bigskip

Sea $A\in K^{nxn}$ (matriz cuadrada):

\subsection{Definición}

$A$ es \textit{diagonalizable }(dgz) si es semejante a una matriz diagonal $%
D\in K^{nxn}$, es decir, existe $P\in K^{nxn}$ inversible tal que \fbox{$%
A=PDP^{-1}$}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

\textbf{Teorema:} \fbox{$A$ es diagonalizable $\iff $ existe una base de $%
K^{n}$ formada por autovectores de $A$}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

dem)

$(\Rightarrow )$ $A$ es dgz $\longrightarrow $ $A=PDP^{-1}\longrightarrow
AP=PD\longrightarrow A[P_{1}P_{2}...P_{n}]=[P_{1}P_{2}...P_{n}]\left[ 
\begin{array}{ccc}
\lambda _{1} &  & 0 \\ 
& \ddots &  \\ 
0 &  & \lambda _{n}%
\end{array}%
\right] $%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\longrightarrow \lbrack AP_{1}AP_{2}...AP_{n}]=[\lambda _{1}P_{1}\lambda
_{2}P_{2}...\lambda _{n}P_{n}]$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\longrightarrow \left\{ 
\begin{array}{c}
AP_{1}=\lambda _{1}P_{1} \\ 
AP_{2}=\lambda _{2}P_{2} \\ 
\ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \\ 
AP_{n}=\lambda _{n}P_{n}%
\end{array}%
\right. $%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

$rg(P)=n$ por ser inversible $\longrightarrow \left\{
P_{1},P_{2},...,P_{n}\right\} $ es LI $\longrightarrow $ es una base de $%
K^{n}$ formada por autovectores de $A.$

$(\Leftarrow )$ Sea $B=\left\{ v_{1},v_{2},...,v_{n}\right\} $ base de $%
K^{n} $ con $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ aves de A asociados a $\lambda
_{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$:

$A\overset{?}{=}PDP^{-1}$

$AP\overset{?}{=}PD$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

Propongo $P=[v_{1},v_{2},...,v_{n}]$ y $D=\left[ 
\begin{array}{ccc}
\lambda _{1} &  & 0 \\ 
& \ddots &  \\ 
0 &  & \lambda _{n}%
\end{array}%
\right] $ \ y entonces verifico que: $AP=PD.$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

Entonces A es diagonalizable pues es semejante a una matriz diagonal.

\subsection{Propiedades}

$(a)$ Si $A\in C^{nxn}$ $n$ avas distintos $\longrightarrow $ $A$ es
diagonalizable \textbf{(no se cumple la recíproca)}

$(b)$ Si $A\in R^{nxn}$ $n$ avas reales distintos $\longrightarrow $ $A$ es
diagonalizable \textbf{(no se cumple la recíproca)}

dem) Si $A$ tiene $n$ avas distintos $\longrightarrow $ habrán $n$
autovectores LI asociados a cada autovalor pues aves asociados a avas
distintos son LI $\longrightarrow $ existirá una base de $K^{n}$ formada por 
$n$ autovectores de $A$ $\longrightarrow $ $A$ es diagonalizable. Pero que
hallan $n$ autovectores LI de $A$ no significa que cada uno esté asociado a
un autovalor distinto y que en consecuancia hallan $n$ avas distintos.%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(c)$ \fbox{$A$ es diagonalizable $\iff $ $S_{\lambda _{1}}\oplus S_{\lambda
_{2}}\oplus .....\oplus S_{\lambda _{r}}=K^{n}\iff $ $m_{a}(\lambda
_{i})=m_{g}(\lambda _{i})$} $\forall $ $\lambda _{i}$ autovalor de $A.$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

dem) Como demostramos anteriormente, la suma de autoespacio es directa. Pero
si A es diagonalizable entonces existe base de $K^{n}$ formada por aves de
A, entonces si los aves forman base de $K^{n},$ entonces la suma de los
autoespacios formará todo $K^{n},$ es decir cualquier vector de $K^{n}$ podrá
ser combinación lineal de los autovectores de A. De esta forma, si la suma
directa de los autoespacios nos da todo $K^{n},$ entonces la suma de las$%
\circ $ dimensiones (las multiplicidades geométricas) nos dará $n$:

$m_{g}(\lambda _{1})+m_{g}(\lambda _{2})+....+m_{g}(\lambda _{r})=n$

Y por propiedad $m_{a}(\lambda _{1})+m_{a}(\lambda
_{2})+......+m_{a}(\lambda _{r})=n$ , y la otra propiedad dice que $1\leq
m_{g}(\lambda _{i})\leq m_{a}(\lambda _{i})$ $\longrightarrow m_{g}(\lambda
_{i})=m_{a}(\lambda _{i})$

\subsection{Polinomios Matriciales}

Dada $A\in R^{nxn}$ y dado un polinjomio $%
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+....+a_{m}x^{m}$ con $%
a_{0},a_{1},a_{2},....,a_{m}\in R$

se define un \textit{polinomio matricial} como \ $%
p(A)=a_{0}+a_{1}A+a_{2}A^{2}+....+a_{m}A^{m}$

\subsubsection{Propiedades%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion
}

$(a)$ \fbox{$Av=\lambda v\longrightarrow p(A)v=p(\lambda )v$} \ \ \ Esto
significa que si $\lambda $ es ava de $A$ entonces $p(\lambda )$ es ava de $%
p(A),$ y si $v$ es autovector de $A$ asociado a $\lambda $ entonces $v$ es
autovector de $p(A)$ asociado a $p(\lambda ).$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

dem) Si $Av=\lambda v\longrightarrow A^{2}v=A\lambda v=\lambda ^{2}v,$ $\
A^{3}v=A\lambda ^{2}v=\lambda ^{3}v,$ $...........$ $\ ,$ $A^{m}v=\lambda
^{m}v$ \ y\ $A^{0}v=\lambda ^{0}v$ (convención: $A^{0}=I)$

Luego: $\ p(A)v=\left( a_{0}+a_{1}A+a_{2}A^{2}+....+a_{m}A^{m}\right)
v=a_{0}Iv+a_{1}Av+a_{2}A^{2}v+....+a_{m}A^{m}v=a_{0}\lambda
^{0}v+a_{1}\lambda v+a_{2}\lambda ^{2}v+....+a_{m}\lambda ^{m}v=\left(
a_{0}+a_{1}\lambda +a_{2}\lambda ^{2}+....+a_{m}\lambda ^{m}\right)
v=p\left( \lambda \right) v$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(b)$ \fbox{Si $A$ es diagonalizable $\longrightarrow p(A)$ es diagonalizable%
}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

dem) Si $A\in R^{nxn}$ es diagonalizable entonces existe $P\in R^{nxn}$
inversible formada por aves de $A$ y $D\in R^{nxn}$ diagonal que contiene a
todos los avas de $A$ tal que $A=PDP^{-1}.$

Luego, $A^{2}=PDP^{-1}PDP^{-1}=PDDP^{-1}=PD^{2}P^{-1}....$ en definitiva: $%
A^{m}=PD^{m}P^{-1}$

Ahora, si aplico el polinomio p: $p(A)=p\left( PDP^{-1}\right)
=a_{0}+a_{1}PDP^{-1}+a_{2}PD^{2}P^{-1}+....+a_{m}PD^{m}P^{-1}=P\left[
a_{0}+a_{1}D+a_{2}D^{2}+....+a_{m}D^{m}\right] P^{-1}=Pp(D)P^{-1}$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

con $p(D)$ diagonal que contiene a\ todos los avas de $p(A)$: $p(D)=\left( 
\begin{array}{ccc}
p(\lambda _{1}) &  & 0 \\ 
& \ddots &  \\ 
0 &  & p(\lambda _{n})%
\end{array}%
\right) .$ Los aves de $A$ y $p(A)$ son los mismos, por lo tanto concluimos
que \underline{$p(A)$ es diagonalizable}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

\textbf{Obs:} Tener muy en cuenta la propiedad que se utilizó que dice: 
\fbox{Si $A=PDP^{-1}\longrightarrow p(A)=Pp(D)P^{-1}$}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

$(c)$ \textbf{Teorema de Cayley-Hamilton: \ }\fbox{$p_{A}(A)=0$} siendo 
\textbf{\ }$p_{A}(\lambda )$ el polinomio característico de una matriz $A$
cuadrada.%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

dem. para matrices dgz) De acuerdo a la propiedad anterior si $%
A=PDP^{-1}\longrightarrow p(A)=Pp(D)P^{-1}$ para cualquier polinomio. En
particular, para el polinomio característico $p_{A}(D)=0_{R^{nxn}}$ pues $%
p_{A}(\lambda _{1})=0,$ $p_{A}(\lambda _{2})=0,....,p_{A}(\lambda
_{n})=0\longrightarrow $\underline{$p_{A}(A)=0$}

%TCIMACRO{\TeXButton{\newpage}{\newpage}}%
%BeginExpansion
\newpage%
%EndExpansion

\section{Avas y Aves de un Endomorfismo Lineal%
%TCIMACRO{\TeXButton{\bigskip}{\bigskip}}%
%BeginExpansion
\bigskip%
%EndExpansion
}

Sea el endomorfismo $T:V\longrightarrow V$ \ (TL), siendo $V$ un $K$-ev:

\subsection{Definición%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion
}

$\lambda \in K$ es autovalor de T si $\exists $ $v\in V$ no nulo tal que 
\fbox{$T(v)=\lambda v$}$.$ $v$ es el autovector de $T$ asociado al autovalor 
$\lambda .$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

\subsection{Propiedades%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion
}

$(a)$ \fbox{$\lambda $ es ava de $T\iff \lambda $ es ava de $[T]_{BB}$}
siendo $B$ base de $V.$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(b)$ \fbox{$v\in V$ es ave de T $\iff x=[v]_{B}\in K^{n}$ es ave de $%
[T]_{BB}$}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

dem.$a$ y $b$) Sea $T\in \tciLaplace (V),$ $dim(V)=n$, $B$ base de $V$ y $%
[T]_{BB}$ matriz asociada a $T:$

$T(v)=\lambda v\iff \left[ T(v)\right] _{B}=\left[ \lambda v\right] _{B}$ ; $%
\left[ T(v)\right] _{B}=[T]_{BB}.[v]_{B}$ (prop. del apunte de TL)

$\iff \lbrack T]_{BB}.[v]_{B}=\lambda \left[ v\right] _{B}\iff $ $\lambda $
es ava de $[T]_{BB}$ y $[v]_{B}$ ave de $[T]_{BB}$ asociado a $\lambda $%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$(c)$ \fbox{$p_{T}(\lambda )=p_{A}(\lambda )$} siendo $A=[T]_{BB}$ (notar
que $A$ podría ser $[T]_{B^{\prime }B^{\prime }}$ o con cualquier otra base $%
V$ recordando que estas matrices serán semejantes y por lo tanto tendrán el
mismo polinomio característico)

\subsection{Diagonalización de un Endomorfismo Lineal}

Sea $T:V\longrightarrow V,$ y $dim(V)=n:$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

\textbf{3.2.1.} \textbf{Definición: }\fbox{$T$ es diagonalizable si existe
una base $C$ en $V$ tal que $[T]_{CC}$ es diagonal}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

\textbf{Teorema:} \fbox{$T$ es diagonalizable $\iff $ existe una base $C$ en 
$V$ formada por autovectores de $T$}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

\textbf{3.2.2. Propiedad:} \fbox{Si $C$ \ es una base de $V$ formada por
autovectores de $T$ $\ \longrightarrow $ $[T]_{CC}$ es diagonal}%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

dem) Sea $C=\left\{ v_{1},v_{2},...,v_{n}\right\} $ entonces:

$%
\begin{array}{c}
T(v_{1})=\lambda _{1}v_{1} \\ 
T(v_{2})=\lambda _{2}v_{2} \\ 
\vdots \\ 
T(v_{n})=\lambda _{n}v_{n}%
\end{array}%
$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

$\bigskip $Ahora: $\left[ T(v_{i})\right] _{B}=\left[ \lambda v_{i}\right]
_{B}=\lambda \left[ v_{i}\right] _{B}\longrightarrow \left[ T(v_{1})\right]
_{B}=\left( 
\begin{array}{c}
\lambda _{1} \\ 
0 \\ 
\vdots \\ 
0%
\end{array}%
\right) $ ; $\left[ T(v_{2})\right] _{B}=\left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
\lambda _{2} \\ 
\vdots \\ 
0%
\end{array}%
\right) $ ; ... ; $\left[ T(v_{n})\right] _{B}=\left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
0 \\ 
\vdots \\ 
\lambda _{n}%
\end{array}%
\right) $

$\bigskip $

$\longrightarrow \left[ T\right] _{CC}=\left( 
\begin{array}{cccc}
\lambda _{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 
0 & \lambda _{2} & \cdots & 0 \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
0 & 0 & \cdots & \lambda _{n}%
\end{array}%
\right) =D$ siendo $C$ la base formada por autovectores de $T$%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

De esta forma si T es diagonalizable entonces $[T]_{BB}=P\left[ T\right]
_{CC}P^{-1}$ para cierta base $B$ de $V.$ $C$ es la base de autovectores de $%
T$, $P=C_{CB}$ y $P^{-1}=C_{BC}.$ Además las columnas de $P$ son los
autovectores de $[T]_{BB}.$

%TCIMACRO{\TeXButton{\newpage}{\newpage}}%
%BeginExpansion
\newpage%
%EndExpansion

\section{Subespacios Invariantes}

\bigskip

\subsection{Definición}

$S$ es un subespacio invariante por $A$ (o $A$-estable) si $\forall $ $v\in
S,$ $Av\in S$

\subsection{Propiedad}

\fbox{Si $S$ es autoespacio de $A$ $\longrightarrow $ $S$ es invariante por $%
A$} (no vale la recíproca) (y $S^{\perp }$ también es invariante por $A$)%
%TCIMACRO{\TeXButton{\medskip}{\medskip}}%
%BeginExpansion
\medskip%
%EndExpansion

\textbf{Observación: }Si $S$ es invariante por $A$ y $dim(S)=1$ $%
\longrightarrow $ $S$ es autoespacio de $A$ (en este caso si vale la recí%
proca, en los demás no necesariamente). Esto es claro, pues si $S=gen\left\{
v\right\} $ y $Av\in S\rightarrow Av=\alpha v$ $\longrightarrow $ $v$ es
autovector de $A$ y claramente $S$ es autoespacio de $A.$ Pero ya con $%
dim(S)=2$ se ve que no se cumple necesariamente.%
%TCIMACRO{\TeXButton{\smallskip}{\smallskip}}%
%BeginExpansion
\smallskip%
%EndExpansion

\textbf{Observación 2: }Si en un enunciado nos piden hallar una matriz $A $
tal que un subespacio $S$ es invariante por $A$, entonces generalmente es
muy útil proponer que $S$ sea autoespacio de $A$, entonces hallamos un $A $
que cumple con la condición de que $S$ es invariante por $A$, pues por hipó%
tesis es autoespacio. Pero de ningún modo significa que $S$ invariante por $%
A $ implica $S$ autoespacio de $A$.

\end{document}