Examen (Parcial) - 61.07. Matemática Discreta

Examen (Parcial) - 61.07. Matemática Discreta

Cátedra: todas
Fecha: 1er Oportunidad - (2do Cuatrimestre) 2008
Día: 25/10/2008

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Enunciado

1 Se define en $<tex>Z</tex>$ la siguiente relación:
$<tex>aRb \leftrightarrow \ [(a\geq b\ \wedge \ a-b \ es \ par) \vee \ ( a \ es \ par \wedge \ b\ es\ impar)]</tex>$
a) Probar que es un orden total. b) Confeccionar el diagrama de Hasse para R restringida a $<tex>A=\{x\ \in \ Z:\mid x\mid \leq 3\}</tex>$ .
c) ¿Existe algún subconjunto de $<tex>Z</tex>$ que tiene ínfimo pero no mínimo? Justifíque. d) ¿Existe algún subconjunto infinito de $<tex>Z</tex>$ que tiene ínfimo y supremo? Justifíque.

2 En $<tex>\Re</tex>$ se define la siguiente relación:
$<tex>aRb \leftrightarrow (a-4)^{2} = (4-b)^{2}</tex>$
a) Probar que es una relación de equivalencia.
b) Hallar el conjunto cociente.

3 Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones (JUSTIFIQUE):
a) $<tex> \forall x \in Z : \forall y \in X : (x\ es\ multiplo\ de \ y \rightarrow x\ es \ multiplo\ de\ y^{2}) </tex>$
b) $<tex> \exists x \in \Re : \forall y \in \Re : (x > y \oplus y \geq x^{2} ) </tex>$

4
a) Resuelva la siguiente ecuación de recurrencia:
$<tex> (n+3) \log_{2} a_{n} -3(n+2) \log_{2} a_{n-1} + 2 (n+1) \log_{2} a_{n-2} = 3 \cdot 2^{n} </tex>$ con $<tex>a_{0}=1 \ : a_{1}=2 </tex>$
b) Demuestre utilizando el principio de inducción:
$<tex> \forall n \in N : \sum _{i=1}^{n} i\cdot 2^{i-1} = 1 + (n-1)\cdot 2^{n} </tex>$

5 En una materia de la facultad los docentes han confeccionado un examen que consta de 5 ejercicios: A,B,C,D, y E. Para aprobar el examen exiten ciertos requisitos:

Si el ejercicio A está mal resuelto, NO se aprueba, independientemente de como estén los demás.
Si el ejercicio B no está bien resuelto entonces sí o sí deben estarlo el C y el E para poder aprobar.
Si los ejercicios D y E están ambos incorrectos tampoco se aprueba.

Salvo estas tres condiciones en el resto de los casos se aprueba. Se pide:
a) Arme la tabla de la función booleana de variables A,B,C,D, y E, cuyo resultado sea 1 si se aprueba el examen y 0 si no lo aprueba.
b) ¿Es suficiente para poder aprobar tener 3 ejercicios correctos? ¿Y 4 correctos? Justifíque.
c) ¿Es necesario para aprobar tener 3 ejercicios correctos? ¿Y 4 correctos? Justifíque.
d) Escriba la función booleana en forma normal disyuntiva, simplifique la expresión de la función booleana a su mínima expresión y construya un circuito que sólo tenga compuertas NOR.

Resolución

Discusión

Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá o envíame un PM.