Exámen Coloquio - 61.07 Matemática Discreta [Foros-FIUBA::Wiki]

Exámen Coloquio - 61.07 Matemática Discreta

Fecha: 22 de julio, 2014

Resolución Alternativa

Ejercicio 1

a)

Por ser reflexiva R, se cumple que:

$<tex>aRa \vee bRb</tex>$ por reflexión.
$<tex>aRb \vee bRa</tex>$ por simetría.
$<tex>a,b,c \in A : aRb,bRc \rightarrow aRc</tex>$ por transitividad.

Tenemos que probar $<tex>[a]=\{x\in A : xRa\}=\{x\in A : xRb\}=[b]</tex>$ .

Sea $<tex>c \in A</tex>$ un elemento cualquiera de [a] entonces $<tex>cRa</tex>$ , y sabemos por hipotesis $<tex>aRb</tex>$ entonces por transitividad $<tex>cRb</tex>$ , por lo que $<tex>c \in [b]</tex>$ . Entonces cualquier elemento de [a] esta incluido en [b], por lo tanto podemos decir que [a]=[b].

b)

Para ser de equivalencia se debe cumplir que la relación cumpla reflexibidad, simetría y transitividad:

$<tex>h: xTy</tex>$
$<tex>t: x=y \vee 3x+3y+2=0</tex>$

La implicación será verdadera si el valor de verdad de h es verdadero y además que el valor de verdad de alguno de los dos términos de t sea verdadero.

Reflexibidad:
Suponiendo h verdadero, $<tex>xTx</tex>$ , entonces $<tex>x=x</tex>$ lo cual es verdadero. Entonces $<tex> V ( h \leftrightarrow t ) = v </tex>$ . T es reflexiva.

Simetría:
$<tex>xTy \rightarrow yTx</tex>$ Si $<tex>xTy</tex>$ entonces se cumple que ( $<tex>x=y</tex>$ ó $<tex>3x+3y+2=0</tex>$ ). Por simetría de la igualdad y conmutación de la suma podemos decir que también se cumple ( $<tex>y=x</tex>$ ó $<tex>3y+3x+2=0</tex>$ ) que sería la condición para que exista yTx . Por lo que $<tex>T</tex>$ es simétrica.

Transitividad:
Si $<tex>xTz</tex>$ y $<tex>zTy</tex>$ se cumple que ( $<tex>x=z</tex>$ ó $<tex>3x+3z+2=0</tex>$ ) y que ( $<tex>z=y</tex>$ ó $<tex>3z+3y+2=0</tex>$ ).

si $<tex>x=z</tex>$ y $<tex>z=y</tex>$ , entonces $<tex>x=y</tex>$ . Lo cual hace que exista $<tex>xTy</tex>$ .
si $<tex>x=z</tex>$ y $<tex>3z+3y+2=0</tex>$ , entonces $<tex>3x+3y+2=0</tex>$ . Lo cual hace que exista $<tex>xTy</tex>$ .
si $<tex>3x+3z+2=0</tex>$ y $<tex>z=y</tex>$ , entonces $<tex>3x+3y+2=0</tex>$ . Lo cual hace que exista $<tex>xTy</tex>$ .
si $<tex>3x+3z+2=0</tex>$ y $<tex>3z+3y+2=0</tex>$ , restando ambas igualdades queda que $<tex>x=y</tex>$ . Lo cual hace que exista $<tex>xTy</tex>$ .

Entonces $<tex>T</tex>$ es transitiva.

Conjunto cociente: $<tex>\frac{\Re}{T}=\{\{x,-3x-2\}\mbox{ con } x \in \Re\}</tex>$

No existen clases con 3 elementos y existe una con 1 elemento cuando $<tex>x=-\frac{1}{2}</tex>$ .
$<tex>x=-3x-2 \rightarrow x=-\frac{1}{2}</tex>$