Final - 61.06 Probabilidad y Estadística A (no industriales)
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- Resolución
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Final - 61.06 Probabilidad y Estadística A (no industriales)

Cátedra: Todas
Fecha: 4° Oportunidad - (1º Cuatrimestre 2008)
Día: 30/07/2008

Punto 1

Sean a y b variables aleatorias independientes con distribución U[0,4]. Hallar la probabilidad de que $<tex>\mathit{x ^2-2ax+b}</tex>$ no tenga raíces reales.

En un control de calidad de hormigón se extraen 3 probetas al azar. Cada una es probada para su resistencia a la compresión. Una probeta pasará la prueba si resiste por lo menos una carga axial de 5500kg. La resistencia a la rotura de las probetas puede ser modelada por una distribución normal de media $<tex>\mathit{\mu =7340}</tex>$ y desvío $<tex>\mathit{\sigma =1050kg}</tex>$ . La especificación requiere que las 3 probetas pasen la prueba para que el lote sea aceptado. El contratista prepara un lote cada día.

a)¿Cuál es la probabilidad de que el primer lote rechazado sea el preparado el quinto día?
b)El contratista puede mejorar la mezcla llevando la media de la distribución anterior a 8250kg. y reduciendo además el coeficiente de variación (σ / μ) en un 10% respecto del anterior. ¿Cuál sería entonces la probabilidad de que le sea rechazado por lo menos un lote en 10 días?

Punto 3

Lucas apuesta a que en 100 lanzamientos de una moneda honesta la cantidad de “caras” observadas diferirá de 50, en módulo, en 4 o más. ¿Cuál es la probabilidad de que Lucas pierda su apuesta? (Debe obtener un resultado numérico).

Punto 4

En una bodega se desea conocer la proporción p de barriles con el vino estacionado. En base a estudios previos, se le asigna a p la siguiente densidad: $<tex>\mathit{f(p)=c(1-p)}</tex>$ , si 0<p<1; 0 en otro caso. Un empleado prueba el vino de nueve barriles encontrando 5 barriles con el vino estacionado.

a) Hallar la densidad a posteriori en base a los 9 resultados obtenidos.
b) Estimar la proporción p.

Punto 5

Se tiene una población con distribución U(θ, θ+1). Basándose en una muestra de tamaño 1, $<tex>\mathit{X_1}</tex>$ , diseñar una regla de decisión de nivel de significación 0.1, para verificar $<tex>\mathit{H_0}</tex>$ : θ ≤ 5 contra $<tex>\mathit{H_1}</tex>$ : θ >5. Grafique la curva característica operativa.

Resolución

Punto 1

Se presentan dos variables aleatorias independientes a y b con la misma distribución uniforme:

Como las variables son independientes, la función conjunta viene dada por: $<tex>f _{a,b}(a,b)= f _{a}(a) \cdot f _{b}(b)=\frac{1}{16}</tex>$

$<tex>f _{a,b}(a,b)=</tex>$ $<tex>\ \left\{ \begin{array}{ll} 1/6 & 0<a<4\quad y\quad 0<b<4 , \\ 0 & \forall \ otro\;(a,b). \end{array} \right.</tex>$

Se pide hallar la probabilidad de que $<tex>x ^{2}-2ax+b</tex>$ no tenga raíces reales, es decir que: $<tex>4a ^{2} -4b \leq 0 \; \Rightarrow \; a^{2}-b\leq 0</tex>$

Planteo el cambio de variables: $<tex>\ \left\{ \begin{array}{ll} v =& a^{2}-b\; \Rightarrow \;b=w^{2}-v \\ w =& a \end{array} \right.</tex>$

$<tex>J = \left | \begin{array}{cccc} \partial v/ \partial a & \partial v/ \partial b \\ \partial w/ \partial a & \partial w/ \partial b \end{array} \right | </tex>$ $<tex>=\left | \begin{array}{cccc} 2a & -1\\ 1 & 0\end{array} \right| =1</tex>$

$<tex> f _{a,b}(a,b)=\frac{f(a,b)}{|J|}=\frac{1}{16}\frac{1}{1}=\frac{1}{16}</tex>$

$<tex>0<b<4 \Rightarrow 0<w ^{2}-v<4\Rightarrow -w ^{2}<-v<4-w ^{2}\Rightarrow-4+w ^{2}<v<w ^{2}</tex>$

$<tex>f _{v,w}(v,w)\left\{ \begin{array}{ll} 1/16 & 0<w<4\quad y\quad -4+w ^{2}<v<w ^{2}, \\ 0 & \forall \ otro\;(v,w). \end{array} \right.</tex>$

Procedo a marginar la función hallada para llegar a la expresión de $<tex>f_v</tex>$ .

$<tex>f_v=\int_{-00}^{+00}f(v,w)\,dw</tex>$

Si $<tex>-4<v<0</tex>$ : $<tex>f_v=\int_{0}^{\sqrt{v+4}}\frac{1}{16}dw=\frac{1}{16}\sqrt{v+4}</tex>$

Si $<tex>\;0<v<16</tex>$ : $<tex>f_v=\int_{\sqrt{v}}^{\sqrt{v+4}}\frac{1}{16}dw=\frac{1}{16}(\sqrt{v+4}-\sqrt{v})</tex>$

$<tex>\ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{16}\sqrt{v+4} & -4<v<0, \\ \frac{1}{16}(\sqrt{v-4}-\sqrt{v})& 0<v<16, \\0 & \forall \ otro\;v. \end{array} \right.</tex>$

Como $<tex>v=a^{2}-b\;</tex>$ lo que me pide el problema es $<tex>P(v \leq 0)=\int_{-4}^{0}\frac{\sqrt{v+4}}{16}dv=\frac{1}{16}\int_{-4}^{0}\sqrt{v+4}dv=\frac{1}{16}\frac{2}{3}\sqrt{4^3} \approx 0.33</tex>$

$<tex>P(v \leq 0)\approx 0.33</tex>$ es el resultado pedido.

Punto 2

Resistencia: $<tex>N( \mu =7341kg, \sigma=1050kg)</tex>$
Pasa la prueba si resiste 5500kg.
Las tres probetas deben pasar la prueba para aceptar el lote.
Hay un lote por día.
$<tex>X_i</tex>$ : resistencia de una probeta

La probabilidad de que el lote apruebe es la probabilidad de que cada probeta pase la prueba, es decir:

$<tex>P(A)=P(X_1 > 5500\cap X_2 > 5500\cap X_3 > 5500 )</tex>$

Como son sucesos independientes: $<tex>P(A)=P(X_1 > 5500)\cdot P(X_2 > 5500)\cdot P(X_3 > 5500) </tex>$

Como tienen la misma distribución: $<tex>P(A)=P(X > 5500)\cdot P(X > 5500)\cdot P(X > 5500) </tex>$

Por lo que $<tex>P(A)=(P(X > 5500))^3</tex>$

$<tex>P(X > 5500)=1-P(X < 5500)=1-F\left(z<\frac{5500-7340}{1050} \right)=1-F(z<-1.752)=1-0.0401=0.9599</tex>$

$<tex>P(A)=(P(X > 5500))^3=0.9599^3=0.884</tex>$

La probabilidad de aceptar un lote es $<tex>0.844</tex>$ .

(a)Sabiendo que se preparara un lote por día, se plantea una variable geométrica de p = 1-0,884 = 0,116 donde el “éxito” es el rechazo de la muestra. La probabilidad pedida es $<tex>P(5 \mid 0.166)=0.116 \cdot 0.884^4=0.07</tex>$

(b) $<tex>\mu'=8250kg \qquad \frac{\sigma'}{\mu'}=\frac{\sigma}{\mu}\cdot0.9=0.129</tex>$

$<tex>\frac{\sigma'}{\mu'}=0.129 \Rightarrow \sigma'=0.129\mu'=0.129\cdot8250kg=1064.5kg</tex>$

Por lo tanto $<tex>\sigma'=1064.5kg</tex>$

$<tex>P(X > 5500)=1-P(X < 5500)=1-F\left(z<\frac{5500-8250}{1064.5} \right)=1-F(z<-2.58)=1-0.0049=0.9951</tex>$

$<tex>P(A)=(P(X > 5500))^3=0.9951^3=0.9854</tex>$

Ahora tenemos un proceso de Bernoulli de variable binomial con n = 10 y p = 1-0,9854 = 0,0146. Nos piden la probabilidad de que se rechace “por lo menos” un lote, es decir, un lote o más:

$<tex>P(rech)= \mathop{\sum}_{1}^{10}P(r_i \mid 0.0146;10)=\mathop{\sum}_{1}^{10}</tex>$ $<tex>\left( \begin{array}{c} 10 \\ r_i \end{array} \right)</tex>$ $<tex>\cdot0.0146^{r_i}\cdot0.9854^9</tex>$

Punto 3

Se plantea una variable binomial con probabilidad de éxito en un ensayo p = 0,5. como se realizan 100 lanzamientos y además p = 0,5 el problema se puede resolver con una variable normal de media $<tex>\mu=np \quad \sigma= \sqrt{np(1-p)}</tex>$

En el grafico están sombreadas los resultados que difieren de 50 en 4 o más caras. La probabilidad de que Lucas pierda la apuesta es $<tex>P(P)=P(x<54)-P(x<46)</tex>$

$<tex>P(P)=F\left(z< \frac {54-50}{5}\right)-F\left(z< \frac {46-50}{5}\right)=F(z<0.8)-F(z<-0.8)=0.7881-0.2119=0.5762</tex>$

Por lo tanto, la probabilidad de que pierda es $<tex>P(P)=0.5762</tex>$

Punto 4

A priori se tiene $<tex>f(p) =</tex>$ $<tex> \left\{ \begin{array}{ll} c(1-p) & 0<p<1, \\ 0 & \forall \;otro\; p . \end{array} \right.</tex>$

$<tex> \int_0^1 c(1-p)\, dp = c\int_0^1 (1-p)\, dp =c\left(\int_0^1dp -\int_0^1p\, dp\right)=c\left(p\mathop{\mid}_{0}^{1}-\frac{p^2}{2}\mathop{\mid}_{0}^{1}\right)=c\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{c}{2}=1</tex>$

Por lo tanto $<tex> c=2</tex>$ . Entonces nos queda: $<tex>f(p) =</tex>$ $<tex> \left\{ \begin{array}{ll} 2(1-p) & 0<p<1, \\ 0 & \forall \;otro\; p . \end{array} \right.</tex>$

(a) La cantidad de vinos estacionados está dada por una variable binomial $<tex>P(r \mid n,p)={n \choose r}p^r(1-p)^{n-r}</tex>$

Esta es la probabilidad de los vinos estacionados dado p. El empleado probó el vino de nueve barriles encontrado 5 con vino estacionado:

$<tex>f_{(M/p)}=P(5 \mid 9,p)={9 \choose 5}p^5(1-p)^4=\frac{9!}{4!5!}p^5(1-p)^4=4536 \cdot p^5(1-p)^4</tex>$

para $<tex>0<p<1</tex>$

$<tex>f(M,p)=f_{(M/p)}\cdot f(p)=4536 \cdot p^5(1-p)^4\cdot2\cdot(1-p)=9072\cdot p^5(1-p)^5</tex>$

para $<tex>0<p<1</tex>$

$<tex>f_{(p/M)}=\frac {f(M,p)}{f(M)}=\frac {9072\cdot p^5(1-p)^5}{f(M)}</tex>$

La función f(M) se puede obtener marginando f(M,p) de la siguiente manera:

$<tex>f(M)=\int_0^1f(M,p)\ dp</tex>$

Como f(M,p) depende de la variable p únicamente, la integral será una constante.

$<tex>f_{(p/M)}=\frac {9072\cdot p^5(1-p)^5}{K}=K'\cdot9072\cdot p^5(1-p)^5</tex>$

para $<tex>0<p<1</tex>$

Siendo $<tex>K'\in \Re / \; \int_0^1K'\cdotp^5(1-p)^5dp=1</tex>$

Por lo tanto, la densidad a posteriori de p en base a los nueve resultados obtenidos es:

$<tex>f(p) =</tex>$ $<tex> \left\{ \begin{array}{ll} K'\cdotp^5(1-p)^5 & 0<p<1, \\ 0 & \forall \;otro\; p . \end{array} \right.</tex>$

(b) La proporción p puede estimarse hallando la esperanza de su distribución:

$<tex>E(p)=\int_{- \infty }^{+ \infty}p\cdot f(p)dp=\int_0^1K'\cdot p^6(1-p)^5dp</tex>$