Examen Final - 61.06 Probabilidad y Estadística A - No Industrial
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Discusión

Examen Final - 61.06 Probabilidad y Estadística A - No Industrial

Cátedra: Todas
Fecha: 2º Oportunidad - Invierno 2006
Día: 12/07/2006

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La distribución conjunta de x e y es una variable uniforme con dominio circular en el plano xy. Obtener el valor del coeficiente de correlación e interpretar el resultado (se puede resolver el ejercicio conceptualmente, sin hacer el cálculo).

Punto II

Encontrar la función de probabilidad de la suma de la V.A.X., binomial (n=1,p=0.5); con la V.A.Y., binomial (n=2, p=0.9) e indicar si se obtiene una nueva distribución binomial. (en caso afirmativo indique la relación entre los parámetros)

Punto III

Sea X una V.A. que representa una magnitud que se quiere medir en un proceso de producción. Su f.d.p. es:

$<tex>f(x) =\left\{ \begin{array}{ll} x-9 & \mbox{si } 9 < x \leq 10, \\ 11-x & \mbox{si } 10 < x \leq 11, \\ 0 & \forall \ \mbox{ otro } x.\end{array} \right.</tex>$

Si se desea controlar que la media de la variable x se mantenga a lo sumo en 10 con $<tex> \alpha </tex>$ = 0.05. Calcular

Zona de aceptación y rechazo y curva característica de operación si se toma como variable de control una sola muestra.
Idem anterior si la variable de control es la media muestral con n= 50.

Punto IV

En un depósito hay 40000 piezas para analizar grado de deterioro de las mismas, se toma una muestra al azar de 800 piezas encontrando 2 piezas muy deterioradas. Si el costo de reparación de c/ pieza deteriorada es $300, ¿cuál es el monto mínimo que con 98% de prob. deberá presupuestarse para la reparación del total de las piezas del depósito?

Punto V

La cantidad de reactivo que se consume en cada operación industrial tiene una distribución uniforme U(0;2) en kg. La cantidad de operaciones por hora tiene una distribución binomial (n=2; p= 0.75). Calcular la probabilidad de que en una hora se consuman menos de 1.5 kg del reactivo

Resolución

Punto I

Punto II

La suma de X e Y no es normal porque tiene diferente p. Para hacer la suma se debe hacer en un cuadro.

		X
		0	1
	0	0.05	0.05
Y	1	0.09	0.09
	2	0.405	0.405

Viendo los distintos valores que puede tomar $<tex>Z=X+Y</tex>$ .

$<tex>P(Z=0)=0.005</tex>$

$<tex>P(Z=1)=0.095</tex>$

$<tex>P(Z=2)=0.495</tex>$

$<tex>P(Z=3)=0.405</tex>$

Punto III

Hago la primer parte nomás.

$<tex>H_0: \mu =10</tex>$

$<tex>H_A: \mu\neq 10</tex>$

Se toma una sola muestra, entonces la variable a controlar es X.

Se toma un $<tex>\alpha=0.05</tex>$

Si $<tex>|x-10|<V_c \longrightarrow AH_0</tex>$

$<tex>\alpha=P(RH_0 / \mbox{cierto }H_0)=P(|x-10|>V_c / \mu=10)</tex>$

Si se dibuja esto en un gráfico, se ve que esta última probabilidad es dos veces el área de un triángulo de altura $<tex>1-V_c</tex>$ y base igual. Por lo tanto:

$<tex>\alpha=2\frac{(1-V_c)^2}{2}=(1-V_c)^2\longrightarrow V_c=1-\sqrt{\alpha}=0.776</tex>$

Por lo tanto si $<tex>9.224<X<10.776</tex>$ se acepta la hipótesis para la media de X.

La CCO debe hallarse para cada $<tex>\mu</tex>$ en particular. [PENDIENTE]

Punto IV

Se estima la proporción de deterioradas como $<tex>\widehat{p}=2/800=0.0025</tex>$ .

Como para tantos valores $<tex>\widehat{p}</tex>$ es una normal de media $<tex>E(\widehat{p})=p</tex>$ y $<tex>\sigma_{\widehat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}</tex>$ , donde $<tex>n=800</tex>$ .

Entonces: $<tex>Z=\frac{\widehat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}</tex>$

Entonces: $<tex>P( -Z_{(1-\alpha/2)}<\frac{\widehat{p}-p}{\sigma}<Z_{(1-\alpha/2)} )=1-\alpha</tex>$

Como quiero la proporción con 98% de confianza, $<tex>\alpha=0.02</tex>$ .

El fractil es $<tex>Z(0.99)=2.32</tex>$ .

Como no se puede despejar p, se aproxima el desvio estándar los valores de p con los valores estimados, entonces: $<tex>\sigma=0.0017</tex>$ .

Entonces: $<tex>P(-0.0041<\widehat{p}-p<0.0041)=0.98</tex>$ .

$<tex>P(-0.0016<p<0.0066)=0.98</tex>$ . ⇐ Es el IC para p.

El presupuesto se obtendrá con el mayor p, (para cubrir todo el intervalo). $<tex>p=0.0066</tex>$

Por lo tanto habrá 265 piezas falladas, y el presupuesto necesario será de al menos $79500.

Punto V

X: cantidad de ractivo en cada operación → U(0;2)

Y: cantidad de operaciones por hora → Bi(n=2; p=0.75)

Z: cantidad de reactivo en una hora

$<tex>Z/Y =\sum_{i=1}^y X_i</tex>$

$<tex>P(Z<1.5)=P(Z<1.5/Y=0)P(Y=0)+P(Z<1.5/Y=1)P(Y=1)+P(Z<1.5/Y=2)P(Y=2)</tex>$

Las probabilidades de Y se calculan con la binomial, y dan: $<tex>P(Y=0)=0.0625 \quad P(Y=1)=0.375 \quad P(Y=2)=0.5625</tex>$

Las otras probabilidades son:

$<tex>P(Z<1.5/Y=0)=1</tex>$ porque no se puede haber gastado reactivo sin operar.

$<tex>P(Z<1.5/Y=1)=P(X<1.5)=0.75</tex>$

$<tex>P(Z<1.5/Y=2)=P(X_1+X_2<1.5)</tex>$

Esta probabilidad se calcula viendo que si $<tex>X_1</tex>$ y $<tex>X_2</tex>$ son independientes, $<tex>f(x_1,x_2)=1/4</tex>$ (se multiplican las funciones).

Se resuelve haciendo la integral (o viendo el área directamente): $<tex>P(X_1+X_2<1.5)=0.28125</tex>$ .

Haciendo la cuenta total se obtiene: $<tex>P(Z<1.5)=0.50195</tex>$ .

Por lo tanto, hay un 50,19% de probabilidad de gastar menos de 1,5kg por hora de reactivo.

Discusión

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