Primer Parcial (Primer Recuperatorio) - 61.06 Probabilidad y Estadística A
- Discusión

Primer Parcial (Primer Recuperatorio) - 61.06 Probabilidad y Estadística A

Cátedra: Cederbaum
Fecha: Primer Parcial - Primer Recuperatorio- 2° Cuatrimestre
Día: 18/11/2011

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Ejercicio 1

Cada integrante de un matrimonio habla por mes una cantidad de minutos aleatorias independiente distribuida uniformemente en el intervalo $<tex>(100;200)</tex>$ y se hace una factura conjunta. El precio del minuto depende de la cantidad hablada: si entre los dos suman menos de $<tex>300</tex>$ minutos cuesta $<tex>\$ 1</tex>$ el minuto, pero si superan los $<tex>300</tex>$ minutos se les factura el minuto $<tex>\$ 0.8</tex>$ . Calcular la probabilidad de que la factura tenga un importe entre $<tex>260</tex>$ y $<tex>300</tex>$ pesos.

Ejercicio 2

Una persona lee por día una cantidad de páginas aleatorias con Media $<tex>10</tex>$ y Desvío Estándar $<tex>4</tex>$ . Al comenzar un mes de $<tex>30</tex>$ días la persona desea elegir un libro de tal forma que tenga una probabilidad de $<tex>84.13</tex>$ por ciento de terminarlo en dicho mes. ¿Cuantas hojas debe tener el libro como máximo?

Ejercicio 3

En cada punto de un partido de ping-pong la cantidad de veces que la pelota pasa la red es una variable aleatoria $<tex>X</tex>$ que se distribuye así: $<tex>P(X=k)=\frac{1}{2^k} \quad k \in N</tex>$
Si la pelota pasa menos de $<tex>4</tex>$ veces una persona que mira el partido no aplaude ninguna vez. Si pasa $<tex>4</tex>$ o más veces la cantidad de aplausos es $<tex>5+X</tex>$
a) Hallar la función de probabilidad de la cantidad de aplausos.
b) Sabiendo que hubo aplausos, calcular la probabilidad de que la pelota haya pasado más de $<tex>6</tex>$ veces.

Ejercicio 4

Diez personas esperan un tren de cinco vagones en la estación. Si las personas son indistinguibles y todas las configuraciones son equiprobables:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que vayan $<tex>2</tex>$ a cada vagón?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el último vagón no viaje nadie?

Ejercicio 5

Los tiempos en que dos procesadores $<tex>X</tex>$ e $<tex>Y</tex>$ calculan el decimal n° $<tex>1000</tex>$ de $<tex>\pi</tex>$ son variables aleatorias independientes exponenciales de parámetros $<tex>1</tex>$ y $<tex>2</tex>$ segundos respectivamente. Hallar la probabilidad de que el segundo procesador haya terminado antes sabiendo que la suma de los tiempos de ambos fue menor a $<tex>2</tex>$ segundos.

Discusión

Ejercicio 1

A este ejercicio le falta el gráfico lo cual puede dificultar su interpretación; cuando lo escanee lo subo. Si alguien me enseña como graficar; mejor :)

$<tex>X \sim U(100;200) \quad Y \sim U(100;200)</tex>$

$<tex>Si \ X+Y<300 \Longrightarrow \$ 1 \ el \ minuto \quad Si \ X+Y>300 \Longrightarrow \$ 0.8 \ el \ minuto</tex>$

La función densidad conjunta es una constante y se calcula como $<tex>f_{XY} (x;y)=\frac {1}{|\Lambda|}</tex>$ siendo $<tex>|\Lambda|</tex>$ el soporte de la región y vale $<tex>f_{XY}(x;y)=\frac{1}{10000}</tex>$ . Al ser constante vamos a poder resolver este ejercicio como áreas favorables sobre área posible siendo el área posible $<tex>10000</tex>$ .

Ahora calculamos las áreas favorables. Tenemos 2 áreas que calcular:

La 1ra es las más fácil y es el trapecio comprendido entre las rectas $<tex>Y=300-X</tex>$ e $<tex>Y=260-X</tex>$ y lo calculamos haciendo la diferencia entre el triángulo grande y el triángulo chico y nos da $<tex>3200</tex>$ .

La 2da es más difícil ya que tenemos que pasar los datos que están en pesos a minutos:

$<tex>(X+Y)min \cdot 0.8 \frac{\$}{min}=\$ 300 \Longrightarrow X+Y=375</tex>$

$<tex>(X+Y)min \cdot 0.8 \frac{\$}{min}=\$ 260 \Longrightarrow X+Y=325</tex>$

El área favorable es el trapecio formado por estas 2 rectas y lo calculo de la misma manera que antes y da $<tex>2500</tex>$

Ahora que tengo todos los datos resuelvo:

$<tex>P(De \ hablar \ entre \ 260 \ y \ 300 \ minutos)=\frac{Areas \ favorables}{Area \ posible}=\frac{5700}{10000}=0.57</tex>$

Ejercicio 2

$<tex>E(X)=10 \quad \sqrt{V(X)}=4 \quad n=30</tex>$

Como $<tex>n</tex>$ es bastante grande puedo armar una función normal.

$<tex>N(n \cdot E(X);\sqrt{n \cdot V(X)} \Longrightarrow N(30 \cdot 10;\sqrt{30 \cdot 16}) = N(300;\sqrt{480})</tex>$

$<tex>P(Maxima)=0.8413 \Longrightarrow P \bigg(Z>\frac{h-300}{\sqrt{480}} \bigg)=0.8413 \Longrightarrow </tex>$ $<tex> 1-P \bigg(Z<\frac{h-300}{\sqrt{480}} \bigg)=0.8413 \Longrightarrow P \bigg(Z<\frac{h-300}{\sqrt{480}} \bigg)=0.1587</tex>$

$<tex>\Phi(-1)=0.1587</tex>$

$<tex>\frac{h-300}{\sqrt{480}}=-1 \Longrightarrow - \sqrt{480} +300=h \Longrightarrow h=278</tex>$

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Estamos en un clásico ejercicio de bolas y urnas donde las personas juegan el rol de las bolas y los vagones juegan el rol de las urnas. Como las personas (bolas) son indistinguibles y todas las configuraciones son equiprobables estamos en una situación de Mecánica Estadísitica de Bose-Einstein.

$<tex>n=5 \quad r=10</tex>$

a) $<tex>P(2 \ personas \ en \ cada \ vagon)=</tex>$ $<tex>{{r+n-1} \choose {n-1}}^{-1} = {14 \choose 4}^{-1} = {{14!} \choose {4! \cdot 10!}}^{-1} = \frac{1}{1001}</tex>$

b) La forma de resolver esta parte es pensarlo como casos favorables sobre casos posibles siendo los casos favorables la distribución de $<tex>10</tex>$ personas en $<tex>4</tex>$ vagones y los casos posibles igual que el punto anterior.

$<tex>P(Ultimo \ vagon \ no \ viaje \ nadie) = \frac{Casos \ favorables}{Casos \ posibles} = {{r+n-2} \choose {n-2}} \cdot {{r+n-1} \choose {n-1}}^{-1} = </tex>$ $<tex> {13 \choose 3} \cdot {14 \choose 4}^{-1} = {{13!} \choose {3! \cdot 10!}} \cdot {{14!} \choose {4! \cdot 10!}}^{-1} = \frac{286}{1001} = 0.2857 </tex>$

Ejercicio 5

A este ejercicio le falta el gráfico lo cual puede dificultar su interpretación; cuando lo escanee lo subo. Si alguien me enseña como graficar; mejor :)

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