61.03 Análisis Matemático II - Recuperatorio - 14/11/2009

2009

Cátedra: Todas
Fecha: 2° Oportunidad - (1° Cuatrimestre) 2009
Día: 14/11/2009
Tema: 1

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Enunciado

1) Sea $<tex> C </tex>$ la curva plana descripta en coordenadas polares por $<tex>r^2 + 3r^2 sen^2(\theta)=4 </tex>$ , graficar y encontrar, si es posible, un punto $<tex>P_{0} \in C</tex>$ tal que la recta tangente a $<tex>C</tex>$ en $<tex>P_{0}</tex>$ sea paralela al vector $<tex>\vec v = (-1 , \frac {1}{2})</tex>$

2) Sea $<tex>F(x,y,z) = azx + e^{zy} + b</tex>$ con $<tex>a</tex>$ y $<tex> b </tex>$ $<tex>\in \Re</tex>$ . Calcular $<tex>a</tex>$ y $<tex>b</tex>$ sabiendo que se cumplen simultáneamente: - $<tex>P_{0} = (1, 0, - \frac {1}{2})</tex>$ pertenece a la superficie de nivel 0 de $<tex>F</tex>$ . - El vector $<tex>(1,-2,0)</tex>$ es tangente a la superficie de nivel 0 de $<tex>F</tex>$ en $<tex>P_{0}</tex>$ Además, justificar que $<tex>f(x,y) = 0</tex>$ define implícitamente a $<tex>z=g(x,y)</tex>$ en un entorno de $<tex>P_{0}</tex>$ y calcular $<tex>\nabla g(1,0)</tex>$

3) Sea $<tex>S</tex>$ la superficie descripta en coordenadas cartesianas por $<tex>z=y^2-x^2</tex>$ . Demostrar que la intersección de $<tex>S</tex>$ con su plano tangente en el punto $<tex>P_{0}= (0,1,1)</tex>$ es un par de rectas.

4) Sea $<tex>f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2-3}</tex>$ . Hallar el dominio y describir las curvas de nivel de $<tex>f</tex>$ . Determinar extremos de $<tex>f</tex>$ y clasificarlos justificando, además, si son relativos o absolutos.

5) Sea $<tex>f(x,y)=(x+1 , 2y- e^x)</tex>$ y $<tex>g: \Re^2 \to \Re ; g \in C^3 (\Re^2)</tex>$ tal que el polinomio de Taylor de orden 2 de $<tex>(g_{o}f)</tex>$ en el punto $<tex>(0,0)</tex>$ es $<tex>p(x,y)=4+3x-2y-x^2+5xy</tex>$ . Calcular la máxima derivada direccional de $<tex>g</tex>$ en el punto $<tex>(1,-1)</tex>$ .

Resolución

Discusión

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