61.03 Análisis Matemático II - Recuperatorio - 23/05/2009

2009

Cátedra: Todas
Fecha: 2° Oportunidad - (1° Cuatrimestre) 2009
Día: 23/05/2009

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Resolución

Punto II

Primero voy a buscar un vector tangente a C en $<tex>P_o=(2,1)</tex>$ para eso defino $<tex>g:R^2\rightarrow{R} / g(x,y)=\frac{x^2}{4}+y^2-2</tex>$

$<tex>\nabla G(x,y)=(\frac{x}{2},2y)</tex>$ $<tex>\nabla G(2,1)=(1,2)</tex>$

Como el gradiente es perpendicular a la curva en $<tex>P_0</tex>$ , entonces un vector tangente a ésta va a ser también

perpendicular al gradiente

Uso el vector $<tex>(-2,1)</tex>$ que cumple que es penpendicular al $<tex>(1,2)</tex>$ ya que $<tex>(-2,1)(1,2)=0</tex>$ Además verifica que la coordenada “y” es positiva. Lo normalizo $<tex>\Rightarrow\hat{v}=\frac{(-2,1)}{\sqrt{5}}</tex>$

Como f(x,y) es diferenciable puedo calcular su derivada direccional como $<tex>\nabla f(x,y).\hat{v}</tex>$

$<tex>\Rightarrow\nabla f(x,y)=(y^2,1+2xy)</tex>$
$<tex>\nabla f(2,1)=(1,5)</tex>$
$<tex>f'[(2,1),\hat{v}]=(1,5)\frac{(-2,1)}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}</tex>$

Punto IV

$<tex>f(x,y)=x^3+2y^3+3y^2x-24x+2</tex>$ (f es diferenciable)

Busco los puntos en donde $<tex>\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0</tex>$ y $<tex>\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0</tex>$

$<tex>\Rightarrow\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^2+3y^2-24</tex>$
$<tex>\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=6y^2+6xy</tex>$

Igualo a cero las derivadas
$<tex>6y^2+6xy=0\Rightarrow y(6y+6x)</tex>$
$<tex>\Rightarrow y=0</tex>$ o $<tex>6y+6x=0</tex>$

Si $<tex>y=0\Rightarrow 3x^2-24=0\Rightarrow \left |{x}\right |=\sqrt{8}</tex>$
Tengo puntos criticos en $<tex>P=(\sqrt{8},0)</tex>$ y $<tex>P=(-\sqrt{8},0)</tex>$

Si $<tex>6y+6x=0\Rightarrow x=-y</tex>$ Reemplazando obtengo que $<tex>\left |{y}\right |=2</tex>$
Tengo puntos criticos en $<tex>P=(-2,2)</tex>$ y $<tex>P=(2,-2)</tex>$

Clasifico los puntos críticos utilizando el criterio de la matriz Hessiana de f:

$<tex>Hf(x,y)=\begin{bmatrix}{6x}&{6y}\\{6y}&{12y+6x}\end{bmatrix}</tex>$

$<tex>Hf(\sqrt{8},0)=\begin{bmatrix}{6\sqrt{8}}&{0}\\{0}&{6\sqrt{8}}\end{bmatrix}</tex>$
$<tex>detHf(\sqrt{8},0)>0</tex>$ y $<tex>\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(\sqrt{8},0)>0</tex>$
$<tex>\Rightarrow</tex>$ en el punto $<tex>P=(\sqrt{8},0)</tex>$ se localiza un mínimo

$<tex>Hf(-\sqrt{8},0)=\begin{bmatrix}{-6\sqrt{8}}&{0}\\{0}&{-6\sqrt{8}}\end{bmatrix}</tex>$

$<tex>detHf(-\sqrt{8},0)>0</tex>$ y $<tex>\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(-\sqrt{8},0)<0</tex>$
$<tex>\Rightarrow</tex>$ en el punto $<tex>P=(-\sqrt{8},0)</tex>$ se localiza un máximo