Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
- Discusión

Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A

Cátedra: Acero
Fecha: Segunda Oportunidad - Primer Cuatrimestre 2005
Día: 28/05/2005

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Sea $<tex>C</tex>$ la curva en $<tex>R^3</tex>$ de ecuaciones $<tex>2x^2 + y^2 + z = 0</tex>$ , $<tex>-2x + y + z = 0</tex>$ . Hallar una función $<tex>C^2, f:R^2 \rightarrow R</tex>$ cuyo gráfico sea ortogonal a $<tex>C</tex>$ en el punto $<tex>(0,1,-1)</tex>$ .

Punto II

Dadas en $<tex>R^3</tex>$ la curva $<tex>C_1</tex>$ de ecuaciones $<tex>x2 + y^2 = 2</tex>$ , $<tex>x + y =</tex>$ , y la curva $<tex>C_2</tex>$ parametrizada por $<tex>t \mapsto (t,\sqrt{2-t^2},9t - 3t^3)</tex>$ , hallar sus puntos de intersección en el primer octante, y mostrar que son perpendiculares en dichos puntos.

Punto III

Si el polinomio de Taylor de una función $<tex>C^3, f:R^2 \rightarrow R</tex>$ en $<tex>(1,1)</tex>$ es: $<tex>p(x,y) = 2 + x - y + 3x^2 + \frac{y^2}{2}</tex>$ , hallar $<tex>a</tex>$ de manera que $<tex>g(x,y) = f(1 + a(x-1),y) - 4x</tex>$ tenga un extremo local en $<tex>(1,1)</tex>$ .

Punto IV

Resolver y fundamentar brevemente su respuesta:

Sea $<tex>f:R^2 \rightarrow R</tex>$ una función $<tex>C^1</tex>$ que es constante en la elipse de ecuación $<tex>x^2 + 9y^2 = 1</tex>$ . Hallar $<tex>\frac{df}{dy}(1,0)</tex>$
Sea $<tex>F: R^2 \rightarrow R</tex>$ una función $<tex>C^3</tex>$ tal que $<tex>F(1,2) = -1</tex>$ , $<tex>\nabla F(1,2) = (3,2)</tex>$ . Mostrar que si $<tex>y = y(x)</tex>$ está definida por $<tex>F(x,y) = -1</tex>$ en un entorno de $<tex>(1,2)</tex>$ , $<tex>y</tex>$ es decreciente en $<tex>1</tex>$ .