Parcial - 61.03 (86.01) Análisis Matemático II A

Parcial - 61.03 (86.01) Análisis Matemático II A

Cátedra: Todas
Fecha: 1ra Oportunidad - 1er Cuatrimestre 2013
Día: 11/05/2013

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Enunciado

Dada $<tex>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}8-x^2 - y^2 & si & y \ge x\\ 6 & si & x \le x\end{matrix}\right.</tex>$
1. Graficar el conjunto de nivel $<tex>6</tex>$ de $<tex>f</tex>$ y describirlo en coordenadas polares.
2. Estudiar la continuidad de $<tex>f</tex>$ en el punto $<tex>(-1, -1)</tex>$ .
Sea $<tex> f \in C^2(\mathbf{R}^2)</tex>$ un campo escalar tal que la ecuación del plano tangente al gráfico de $<tex>f</tex>$ en el punto $<tex>(2,1,f(2,1))</tex>$ es $<tex>-2x + 6y -3z =1</tex>$ . Hallar la ecuación de la recta normal a la superficie definida por $<tex>z=f(2+x, 1+2y e^x)</tex>$ en el punto $<tex>(x_0, y_0, z_0)=(0,0,z_0)</tex>$ .
Sea $<tex>f(x,y)=x^2+y^2+4a^2(y^2-x^2)</tex>$ .
1. Demostrar que para todo valor de $<tex>a \in \mathbf{R}</tex>$ , $<tex>(0,0)</tex>$ es un punto crítico de $<tex> f</tex>$ .
2. Hallar, si existe, algún valor de $<tex>a</tex>$ para el cual $<tex>f</tex>$ tenga un punto silla en el $<tex>(0,0)</tex>$ .
En un entorno del punto $<tex>(0,0,1)</tex>$ la ecuación $<tex>x^4+y^4+z^4-4xyz - ax + by = 1</tex>$ define una función $<tex>z=g(x,y)</tex>$ de clase $<tex>C^1</tex>$ . Hallar $<tex>a</tex>$ y $<tex>b \in \mathbf{R}</tex>$ de manera tal que $<tex>\frac{\partial g}{\partial \breve{v}}(0,0)=1</tex>$ y $<tex>\frac{\partial g}{\partial \breve{w}}(0,0)=2</tex>$ , para $<tex>\breve{v} = (4/5, 3,5)</tex>$ y $<tex>\breve{w} = (4/5, - 3/5)</tex>$ .
Sea la curva $<tex>C=\lbrace(x,y,z) \in \mathbf{R}^3 / z=x^2+y^2, 2x-y=0\rbrace</tex>$ . Hallar una parametrización regular de $<tex>C</tex>$ y los puntos de la curva en los cuales la recta tangente es paralela al vector $<tex>\vec{v} = (3,6,18)</tex>$ .

Resolución

Discusión

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