61.03 Análisis Matemático II - Parcial - 02/05/2009
- Resolución
  - Punto 2
  - Punto 5

2009

Cátedra: Todas
Fecha: 1° Oportunidad - (1° Cuatrimestre) 2009
Día: 02/05/2009

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Parcial 02/05/2009

Sabemos que $<tex>g(t)=(e^{t-1},t+2)</tex>$ y que f es una función diferenciable tal que el plano tangente a su gráfica (1,3,4) es $<tex>z=ax+by+2</tex>$ . Además sabemos que $<tex>h(t)= f(g(t))/h'(1)=1</tex>$ . Debemos averiguar los valores de a y b.

La primera coordenada de $<tex>g(t)</tex>$ la llamamos 'x' y a la segunda 'y'.

Con el dato $<tex>h'(1)=1</tex>$ , podemos decir que $<tex>t_0= 1</tex>$ ; y si hacemos $<tex> g(1)= (1,3)</tex>$ calculamos el punto en la función g.

Ahora derivamos con la regla de la cadena:

$<tex>h'(t_0)=\frac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \frac {\partial x}{\partial t_0}(t_0) + \frac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \frac {\partial y}{\partial t_0}(t_0)=a(e^{t_0-1})+b1=a+b</tex>$

Entonces como $<tex>h'(1)=1\rightarrow h'(1)=a+b\rightarrow</tex>$ $<tex> 1=a+b\\1-a=b</tex>$

Ecuación 1: $<tex>b=1-a</tex>$

Luego sacamos la segunda condición de reemplazar el punto $<tex>(1,3,4)</tex>$ dado en la ecuación del plano dada: $<tex>z=ax+by+2\\4=a1+b3+2\\4-a-2=3b\\\frac{2-a}{3}=b</tex>$

Ecuación 2: $<tex>b=\frac{2-a}{3}</tex>$

Igualando la ecuación 1 con la ecuación 2, obtenemos $<tex> 1-a=\frac{2-a}{3}\rightarrow 3-3a=2-a\\-2a=-1\rightarrow a=\frac{1}{2}\\ b=1-a=\rightarrow b=\frac{1}{2}</tex>$

Entonces a=1/2 y b=1/2

Punto 5

Nos piden averiguar si $<tex>g(x,y)=f(x,y)-sen[x(y+1)]</tex>$ tiene un extremo en el punto $<tex>(0,-1)</tex>$ y analizarlo. A simple vista vemos que la función $<tex>g(x,y)</tex>$ , depende de la función $<tex>f(x,y)</tex>$ . Pero como nos dan el polinomio de Taylor de orden 2 de $<tex>f(x,y)</tex>$ en el punto $<tex>(0,-1)</tex>$ , podemos decir que en ese punto, la función y el polinimio de Taylor son iguales.

Polinomio (dato): $<tex>p(x,y)=-x^2-2y^2+xy+x-4y+2</tex>$

$<tex>f(0,-1)</tex>$ ≅ $<tex>p(0,-1)=0-2+0+0+4+2=4</tex>$

Ahora calculamos las derivadas parciales de primer orden para el polinomio de Taylor (para que existan extremos deben ser igual a cero en el punto a evaluar):

$<tex>f'x(0,-1)=-2x+y+1=0+(-1)+1=0</tex>$

$<tex>f'x(0,-1)=-4y+x-4=4+0-4=0</tex>$

Ahora calculamos las derivadas parciales de segundo orden para el polinomio de Taylor:

$<tex>f''xx(0,-1)=-2</tex>$

$<tex>f''xy(0,-1)=-4</tex>$ | Por el Teorema de Schwarz (la función debe ser diferenciable, es decir admitir derivadas parciales continuas) $<tex>f''xy(0,-1)=f''yx(0,-1)</tex>$