Parcial - 61.03 Análisis Matemático II - 11/10/2008
- Enunciado
- Resolución
  - Punto I
  - Punto 2
- Discusión

2008

Cátedra: Todas
Fecha: 1° Oportunidad - (2° Cuatrimestre) 2008
Día: 11/10/2008

Enunciado

1) Sea $<tex>F: \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}</tex>$ una función $<tex>{C}^{\infty}</tex>$ tal que $<tex>F(0,1,3) = 1</tex>$ y $<tex>\nabla F(0,1,3) = (1,1,1)</tex>$ .
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la superficie $<tex>S=\{(x,y,z) \in \mathbf{R}^3 / F(x,y,z)-e^x+2xy = 0\}</tex>$ en el punto $<tex>(0,1,3)</tex>$

2) Mostrar que el sistema $<tex>\left\{ \begin{array}{lll} 2xy - 3u^2 + uv & = & -1 \\ xu + yv & = & 1 \end{array} \right. </tex>$ define $<tex>\left\{ \begin{array}{lll} u & = & u(x,y) \\ v& = & v(x,y) \end{array} \right. </tex>$ en el entorno del punto $<tex>(x_0,y_0,u_0,v_0) = (1,1,1,0) </tex>$ y hallar el plano tangente a la gráfica de la función $<tex>u = u(x,y)</tex>$ en el punto $<tex>(1,1,1)</tex>$

3) Sea $<tex>f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}</tex>$ una función $<tex>{C}^{\infty}</tex>$ cuyo polinomio de Taylor de orden 2 en el punto $<tex>(2,1)</tex>$ es $<tex>p(x) = 1+ 2x - xy + 2x^2</tex>$ . Sea $<tex>h(u,v) = f(u + 2v, -u + v)</tex>$ . Hallar el valor de la derivada direccional máxima de $<tex>h</tex>$ en $<tex>( \frac{4}{3} , \frac{1}{3})</tex>$ .

4) Hallar $<tex>a \in \mathbf{R}</tex>$ de modo que la recta $<tex>\left\{ \begin{array}{lll} x + z & = & 1 \\ x - 2y + z & = & 3 \end{array} \right. </tex>$ sea tangente en $<tex>(1,-1,0)</tex>$ a la superficie parametrizada por $<tex>\sigma (u,v)= (1+2v, au + v^2, 2uv)</tex>$ con $<tex>\left\{ \begin{array}{lll}-2 \leq u \leq 2 \\-1 \leq v \leq 1 \end{array} \right. </tex>$ .

5) Sea la superficie $<tex>S</tex>$ definida por $<tex>(x-1)^2 + z^2 = 4</tex>$ hallar y parametrizar una curva $<tex>C \subset S</tex>$ de manera que $<tex>C</tex>$ resulte perpendicular al vector $<tex>(1,2,3)</tex>$ en todo punto.

Resolución

Punto I

1) Defino $<tex>\Phi : D \Phi \subset \mathbf {R}^3 \rightarrow \mathbf {R} </tex>$ tal que $<tex> S \subset C_0 (\Phi)</tex>$

El $<tex>\nabla \Phi (x,y,z)</tex>$ será normal a $<tex>S</tex>$

$<tex>\nabla \Phi (x,y,z) = ( \Phi_x (x,y,z), \Phi_y (x,y,z), \Phi_z (x,y,z))\\ \nabla \Phi (x,y,z) = ( F_x (x,y,z)- e_x + 2y , F_y (x,y,z) + 2x , F_z (x,y,z)) </tex>$

Es dato: $<tex>\nabla F(0,1,3) = (1,1,1) = ( F_x (x,y,z), F_y (x,y,z) , F_z (x,y,z))</tex>$

Reemplazo para el punto (0,1,3), que es donde quiero la normal a la superficie:

$<tex>\nabla \Phi (0,1,3) = ( F_x (0,1,3)- e_0 + 2.1 , F_y (0,1,3) + 2.0 , F_z (0,1,3)) \\\nabla \Phi (0,1,3) = ( 1 -1 +2 , 1 , 1) \\\nabla \Phi (0,1,3) = (2,1,1)</tex>$

La recta será entonces: $<tex>\lambda (2,1,1) + (0,1,3)</tex>$

Punto 2

La ecuación del plano tangente será: $<tex> z = u(1,1) + u_x(1,1)(x-1) + u_y(1,1)(y-1) </tex>$

Quiero usar el teorema de Cauchi-Dinni (hay que verificar las condiciones)

$<tex>f : \mathbf{R}^4 \rightarrow \mathbf{R}, \in C^\infty(\mathbf{R}^4) / f(x,y,u,v) = 2xy - 3u^2 + uv + 1 \\ g : \mathbf{R}^4 \rightarrow \mathbf{R}, \in C^\infty(\mathbf{R}^4) / g(x,y,u,v) = xu + yv + 1 </tex>$

$<tex>f(P_0) = 0 \\g(P_0) = 0</tex>$

$<tex>det( \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)} (P_0)) = -7 </tex>$

Verificadas las hipótesis puedo operar:

$<tex>\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{det( \frac{\partial (f,g)}{\partial (x,v)} (P_0))}{det( \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)} (P_0))} = \frac{1}{7} \\\\\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{det( \frac{\partial (f,g)}{\partial (y,v)} (P_0))}{det( \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)} (P_0))} = \frac{2}{7}</tex>$

Discusión

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