Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A

Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A

Cátedra: Todas
Fecha: 1er Recuperatorio - 1er Cuatrimestre 2008
Día: 24/05/2008

Enunciado

1) Sea $<tex>f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}</tex>$ y su polinomio de Taylor de orden 2 en $<tex>(1,1)</tex>$ $<tex>P(x,y)= -6xy + 3x^2</tex>$ Y sea $<tex> G(x,y)= f(x,y) + ay^3 - 3y</tex>$
Hallar a para que $<tex>G(x,y)</tex>$ tenga un minimo en $<tex>(1,1)</tex>$

2) Sea una superficie $<tex> S=(u.sin(v), (\sqrt{3}/3) .u.cos(v), u)</tex>$ y PI un plano de ecuacion $<tex>z=x-1</tex>$ . Hallar todos los puntos de S en los que su recta normal es paralela al plano PI.

3) Sea $<tex> 3x+2y+5z=6</tex>$ el plano tangente a la grafica $<tex>F(x,y)</tex>$ en $<tex>(1,-1,1)</tex>$ , $<tex>u</tex>$ el versor tangente a la curva de nivel 9 de $<tex>G(x,y)= x^3 -2xy + y^2</tex>$ en $<tex>(1,-2)</tex>$ . Hallar la derivada direccional de $<tex>F</tex>$ en la direccion de $<tex>u</tex>$ .

4) $<tex>F: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}</tex>$ es $<tex>C2, F(x+y,x+z)=0, Z=F(x,y), E=(Xo,Yo,Zo)</tex>$ Demostrar que se cumple $<tex>Z_{x}-Z_{y} = 1</tex>$ en un entorno de $<tex>(Xo,Yo)</tex>$ .

5) La curva $<tex>C</tex>$ esta deterimnada por la interseccion del cilindro $<tex>S1</tex>$ , cuya proyeccion en el plano $<tex>XY</tex>$ es la curva parametrizada en coordenadas polares por $<tex>\rho^2 = 2/(1 - cos^2\theta)</tex>$ , y el cilindro $<tex>S2</tex>$ , definido en coordenadas cartesianas por $<tex>z=2-y^2</tex>$ .
a) Describir la curva, intersección $<tex>S1</tex>$ y $<tex>S2</tex>$ . Dar una parametrizacion para $<tex>C</tex>$ y graficarla aproximadamente.
b) Obtener el vector tangente a $<tex>C</tex>$ en el punto $<tex>P=(0,1,2)</tex>$ .

Resolución

Discusión

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