Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A - 08/05/2008
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
- Discusión

2008

Cátedra: Indistinta
Fecha: 1° Oportunidad - 1° Cuatrimestre 2008
Día: 08/05/2008
Tema: 2

Sea $<tex> f: \mathbf {R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2 </tex>$ una función diferenciable, $<tex> f(x,y) = (u(x,y), v(x,y)) </tex>$ tal que $<tex> f(1,1)=(3,2) </tex>$ , con matriz jacobiana de $<tex> f </tex>$ en $<tex> (1,1) </tex>$ : $<tex> \frac{\partial (u,v)} {\partial (x.y)} (1,1) = \left(\begin{array}{cccc}-1 & 2 \\2 & 2 \\\end{array}\right) </tex>$

Sea $<tex> C </tex>$ la Curva imagen por $<tex> f </tex>$ de $<tex> x^2 + y^2 =2 </tex>$ . Hallar la ecuación de la recta tangente a $<tex> C </tex>$ en $<tex> (3,2) </tex>$ .

Punto II

Una función $<tex> C^2 </tex>$ $<tex>h (x,y,z) </tex>$ tiene un máximo relativo de valor 0 en $<tex> (2,1,3) </tex>$ . Hallar una ecuación del plano tangente en $<tex> (2,1,3) </tex>$ a la superficie de ecuación $<tex> h (x,y,z) = 4y-x^2 </tex>$ .

Punto III

Parametrizar la curva

$<tex> C =\left\{ \begin{array}{ll} x^2 + y^2 -z=0 \\\sqrt{x^2 + y^2} = - (z-6) \end{array} \right.</tex>$

Graficar $<tex> C </tex>$ y hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel en el punto $<tex> (0,-2,4) </tex>$

Punto IV

Sabiendo que:

$<tex> i-. </tex>$ $<tex> f (x,y) </tex>$ es una función diferenciable en $<tex> P_0 (x_0,y_0) </tex>$

$<tex> ii-. </tex>$ La recta de ecuación $<tex> 4x-y=0 </tex>$ es perpendicular a la curva de nivel de $<tex> f </tex>$ que pasa por $<tex> P_0 </tex>$

$<tex> iii-. </tex>$ La máxima pendiente de la superficie $<tex> S </tex>$ de ecuación $<tex> z=f(x.y) </tex>$ en $<tex> (x_0, y_0, f(x_0,y_0 ) ) </tex>$ es $<tex> \sqrt{6} </tex>$ .

Hallar el gradiente de $<tex> f </tex>$ en $<tex> P_0= (x_0, y_0) </tex>$ sabiendo que su primer componente es positiva.

Punto V

Hallar $<tex> a </tex>$ para que las superficies: $<tex> S_1 : (u,v) \longrightarrow (u-v,u+v,v^2) </tex>$ con $<tex>0 \leq u \leq 2</tex>$ y $<tex>0 \leq v \leq 2 </tex>$ $<tex> S_2 : y^3+ax-z^2-7=0 </tex>$ sean ortogonales en el punto $<tex> (0,2,1) </tex>$

Resolución

Discusión

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