Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A
- Enunciado
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
- Discusión

Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A

Cátedra: Todas
Fecha: 2da Oportunidad - 1er Cuatrimestre 2007
Día: 25/05/2007

Enunciado

Analizar si existen valores reales de $<tex>a</tex>$ y $<tex>b</tex>$ para los cuales la curva parametrizada por: $<tex>u \mapsto (b(u - 2) + 10.3(u - 2), a(u^2 - 5u + 6))</tex>$ es perpendicular en el punto $<tex>(1,3,0)</tex>$ a la superficie de ecuación: $<tex> 2x^2 + z^2 = \frac{4}{3}y - 2</tex>$ .
Sea $<tex> \mathcal{S}</tex>$ la superficie parametrizada por: $<tex>(u, v) \mapsto (u^2, u + v, u - v) \ , \ -1 < u < 2 \ , \ -1 < v < l</tex>$ . Hallar un vector tangente en $<tex>(1,1,1)</tex>$ a la intersección de $<tex> \mathcal{S}</tex>$ con el plano de ecuación $<tex>y - z = 0</tex>$ .
Sea $<tex>f: </tex>$ una función $<tex>\mathcal{C}^4</tex>$ y sea $<tex>g(u, v) = f(2v - u, u - v)</tex>$ . Hallar si existen valores reales $<tex>a</tex>$ y $<tex>b</tex>$ para que la función $<tex>g(u, v)</tex>$ tenga extremo en el punto $<tex>(1,1)</tex>$ , sabiendo que el polinomio de Taylor de la función $<tex>f</tex>$ de grado 3 en $<tex>(1,0)</tex>$ es $<tex>p(x,y) = y^3 +by^2 - 2y(a + 1) + 2x^2 - 4xy+4</tex>$ .
La función de producción de una empresa es: $<tex>f(x,y) = 24y + 40x - y^2 - 4x^2</tex>$ . El costo para la compañía es de $16 por unidad de $<tex>x</tex>$ y de $8 por unidad de $<tex>y</tex>$ . Si la empresa desea que el costo total de los insumos sea de $176 calcule la máxima producción posible dada esa restricción en el presupuesto.
Demostrar que es posible definir de manera implícita $<tex>u</tex>$ y $<tex>v</tex>$ de: $<tex> \left\{ \begin{array}{l} yv+xyv^2=2 \\ yv^3+x^2u^4=2 \end{array} \right.</tex>$ como función de $<tex>x</tex>$ e $<tex>y</tex>$ de manera única cerca del punto $<tex>(x,y, u, v) = (1,1,1,1)</tex>$ . Hallar $<tex>\frac{\partial v}{\partial y}</tex>$ en el punto $<tex>(1,1)</tex>$ .

Para que la curva sea ortogonal a la superficie en el punto $<tex>P_0=(1,3,0)</tex>$ deber cumplirse que, el verctor director de la recta tangente a la curva, evaluada en dicho punto, sea paralela a la normal de la superficie en cuestión.

En primer lugar se evalua si existen valores para los cuales la curva pasa por el punto $<tex>P_0</tex>$ .

$<tex>(bu-2b+10,\ 3u-6,\ au^2-5au+6a)=(1,3,0)</tex>$

$<tex> \left\{ \begin{array}{l} bu-2b+10=1\\ 3u-6=3\\ au^2-5au+6a=0 \end{array}\right.</tex>$

$<tex>\Rightarrow \ b=-9\mbox{ , } u=3 \mbox{ y } a </tex>$ sin condiciones.

Luego se deriva la curva parametrizada para sacar el vector tangente:

$<tex>C^\prime =\left.(b,3,2au-5a)\right|_{\begin{array}{l} b=-9\\ u=3\end{array}} = (-9,3,a)</tex>$

Se calcula la normal a la superficie $<tex>y=f(x,z)</tex>$

$<tex>\Rightarrow \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4} y^2 + \frac{3}{2}=y</tex>$

$<tex>\left. \nabla f \right|_{P_0}=\left. \left(3x,\frac{3}{2}z\right) \right|_{P_0}=(3,0)</tex>$

Por lo tanto, la normal a la superficie en $<tex>P_0</tex>$ es $<tex>(3,-1,0)</tex>$ .

Finalmente resta comprobar que la normal y el vector tangente sean paralelos:

$<tex>\Rightarrow \lambda(3,-1,0)=(-9,3,a) \Rightarrow a=0</tex>$

Resultado: $<tex> a=0 \mbox{ y } b=-9</tex>$

Punto II

La resolusíon de este problema consiste, básicamente, en hallar las normales en $<tex>P_0</tex>$ de la superficie y el plano en cuestión; su producto vectorial es justamente el la recta pretendida.

En primer lugar se evalua si existen valores para los cuales la superficie pasa por el punto $<tex>P_0</tex>$ .

$<tex>(u^2, \ u + v, \ u - v) =(1,1,1)</tex>$

$<tex> \left\{ \begin{array}{l} u^2=1\\ u+v=1\\ u-v=1 \end{array}\right.</tex>$

$<tex>\Rightarrow \ u=1\mbox{ y } u=0</tex>$ .

Luego se deriva la superficie parametrizada respecto de cada una de las variables y posteriormente se realiza el producto vectorial para obtener la normal a la superficie:

$<tex>\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial u}= (2u,1,1) \qquad \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial v}=(0,1,-1)</tex>$

$<tex>\Rightarrow (2u,1,1) \wedge (0,1,-1) = (-2,2u,2u) = (-2,2,2) = N_1|_{P_0}</tex>$

La normal del plano $<tex>y-z=0</tex>$ es $<tex>N_2=(0,1,-1)</tex>$ .

Por último se calcula el producto vectorial entre $<tex>N_1</tex>$ y $<tex>N_2</tex>$ :

$<tex>(-2,2,2)\wedge(0,1,-1)= (-4,-2,-2) \longrightarrow</tex>$ vector tangente.

Discusión

Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.

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