Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A

Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A

Cátedra: Todas
Fecha: 2da Oportunidad - 2do Cuatrimestre 2007
Día: 24/11/2007

Enunciado

1) Sea $<tex>f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2</tex>$ y su polinomio de Taylor de orden 2 en $<tex>(0,0)</tex>$

$<tex>P(x,y)=\alpha x^2 + y^2</tex>$

a) Demostrar que la gráfica de $<tex>f</tex>$ es tangente al plano $<tex>xy</tex>$ en $<tex>\left( 0,0,f(0,0) \right)</tex>$ .
b) Demostrar que si $<tex>\alpha > 0</tex>$ entonces $<tex>f</tex>$ tiene un mínimo en $<tex>(0,0)</tex>$ .
c) Demostrar que si $<tex>\alpha < 0</tex>$ entonces $<tex>f</tex>$ tiene un punto silla en $<tex>(0,0)</tex>$ .

2) Sea el sistema

$<tex>\left\{ \begin{array}{ll} xy^2+xz+2=0 \\y^3+x^2-z^2=1\end{array} \right.</tex>$

en un entorno de $<tex>P=(-1,1,1)</tex>$ define implícitamente a $<tex>x</tex>$ e $<tex>y</tex>$ como funciones de $<tex>z</tex>$ . Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

$<tex>h(z)=x^3(z)y^2(z)</tex>$ en $<tex>\left( 1,h(1) \right)</tex>$

3) Sea $<tex>\mathrm{S}</tex>$ la superficie parametrizada por

$<tex>(u,v) \mapsto \left( 1-u, -u+v, -2u+v^2 \right) \qquad -1<u<1 \qquad -2<v<2 </tex>$

Hallar los $<tex>\mathrm{P}</tex>$ pertenecientes a $<tex>\mathrm{S}</tex>$ tales que el plano tangente a $<tex>\mathrm{S}</tex>$ en $<tex>\mathrm{P}</tex>$ es paralelo al vector $<tex>(-1,-2,-4)</tex>$ .

4) Sea $<tex>\pi : 2x+3y+5z=6</tex>$ el plano tangente a la gráfica de $<tex>f(x,y)</tex>$ en $<tex>(-1,1,1)</tex>$ y sea $<tex>\breve u</tex>$ un versor tangente a la curva de nivel 9 de $<tex>g(x,y)=y^3-2xy+x^2</tex>$ en $<tex>(2,-1)</tex>$ . Hallar la derivada direccional de $<tex>f</tex>$ en $<tex>(1,-1)</tex>$ en la dirección del $<tex>\breve u</tex>$ elegido.

5) Sea $<tex>\mathrm{C}</tex>$ la curva en $<tex>\mathbf{R}^2</tex>$ parametrizada por $<tex>\gamma(u)=(2u^2,u) \qquad \sqrt { \frac {1}{2} }<u<\sqrt { \frac {3}{2} }</tex>$

Sea $<tex>f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2</tex>$ definida por $<tex>f(u,v)=(uv,u+v)</tex>$

Mostrar que la imagen por $<tex>f</tex>$ de la curva $<tex>\mathrm{C}</tex>$ en el punto $<tex>(2,3)</tex>$ es perpendicular a la recta $<tex>5y=-6x+27</tex>$ .

Resolución

Punto V

Metés a $<tex>\gamma (u) = \left( 2u^2, u \right)</tex>$ adentro de $<tex>f(u,v)=(uv, u+v)</tex>$ , o sea, armás la composición.

A vos te piden la imagen por $<tex>f</tex>$ de $<tex> \mathbf{C} </tex>$ en $<tex>(2,3)</tex>$ , o sea que $<tex>f\left( \gamma(u) \right)=(2,3)</tex>$ .

La composición queda $<tex>f\left( \gamma(u) \right)=\left( 2u^3, 2u^2 + u \right)</tex>$ .

Hacés el despeje y te da que $<tex>u=1</tex>$ .

Ahora buscás el vector director de la recta tangente en ese punto, así que derivás: $<tex>f'=\left( 6u^2, 4u + 1 \right)</tex>$

Metés $<tex>u=1</tex>$ y el vector te da $<tex>(6,5)</tex>$ .

Resulta que te pedían que muestres que era perpendicular con la recta $<tex>5y=-6x+27</tex>$ , o sea que el PI de los directores tiene que ser 0.

Parametrizamos la recta: $<tex>\left( x, -\frac {6}{5} x + \frac {27}{5} \right) = x \left( 1, -\frac {6}{5} \right) + \left( 0, \frac {27}{5} \right)</tex>$ .

Ahí va el PI:

$<tex>(6,5) \cdot \left( 1,- \frac {6}{5} \right) = 6\cdot 1 + 5\cdot \left( -\frac {6}{5} \right) = 0 </tex>$

Y mostramos lo que nos pedían.

Discusión

Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.