Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A
- Enunciado
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Discusión

Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A

Cátedra: Todas
Fecha: 1era Oportunidad - 2do Cuatrimestre 2007
Día: 03/11/2007

Enunciado

Sea $<tex>f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} </tex>$ una función $<tex> C^2</tex>$ tal que $<tex> F(x+y ; x+z) = 0</tex>$ define implicitamente $<tex>a</tex>$

$<tex>\ z=f(x,y)</tex>$ en un entorno de $<tex> (x_0 , y_0 , z_0 ) </tex>$ Verificar que en $<tex> (x_0 , y_0)</tex>$ se cumple que $<tex>\frac{dz}{dy}-\frac{dz}{dx}=1</tex>$

Sea $<tex>f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}</tex>$ una función $<tex>C^3</tex>$ y el polinomio de Taylor de grado 2 de $<tex> f_{(1,1)}</tex>$ es

$<tex>p(x,y)=2+2y^2-2y-2x^2+4x</tex>$ hallar a para que la función $<tex>g(x,y)=y f(x,y)+ay^2</tex>$ tenga un extremo en $<tex>(1,1)</tex>$ y determinar si es mínimo o maximo.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva descrita en coordenadas polares por:

$<tex> \rho = 4 \theta </tex>$ en $<tex> \theta = \pi</tex>$

Dada la superficie $<tex>S : (x-3)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=42 </tex>$ y las rectas:

$<tex>\alpha_{(t)} = (2t,-3t,2t)</tex>$ y $<tex> \beta_{(t)} = (1+3t,-1-2t,t)</tex>$ encontrar los puntos de S. Para los que el plano tangente a S en dichos puntos sea paralelo a ambas rectas, hallar las ecuaciones de dichos planos

Hallar todos los valores de a,b,c tales que la derivada direccional de

$<tex>f(x,y,z)= ayx^2+bxz+cz^2y^3</tex>$ en $<tex>(2,1,-1)</tex>$ :

Alcance su valor maximo en direccion paralela al eje $<tex>z</tex>$

Dicho valor sea $<tex>64</tex>$

Resolución

Punto I

Siendo $<tex>F(x+y,y+z) = 0</tex>$ , tomo $<tex>u = u(x,y) = x+y</tex>$ , $<tex>v = v(x,y) = y+z</tex>$ , y entonces queda $<tex>F (u, v) = 0</tex>$ . Haciendo un diagrama en árbol y aplicando la regla de la cadena queda que: $<tex> \frac {\partial F}{\partial x} = \frac {\partial F}{\partial u} \frac {\partial u}{\partial x}</tex>$ $<tex>\frac {\partial F}{\partial y} = \frac {\partial F}{\partial u} \frac {\partial u}{\partial y} + \frac {\partial F}{\partial v} \frac {\partial v}{\partial y}</tex>$ $<tex>\frac {\partial F}{\partial z} = \frac {\partial F}{\partial v} \frac {\partial v}{\partial z}</tex>$

Derivando u y v, siempre dentro del entorno pedido: $<tex>\frac {\partial u}{\partial x} = 1, \frac {\partial u}{\partial y} = 1, \frac {\partial v}{\partial y} = 1, \frac {\partial v}{\partial z} = 1</tex>$ Después se aplica Cauchy-Dini para calcular $<tex>\frac {\partial z}{\partial x}</tex>$ y $<tex>\frac {\partial z}{\partial y}</tex>$ , se lo reemplaza en la ecuación dada y se verifica.

Punto II

Como $<tex>p(x,y)</tex>$ es el polinomio de Taylor de $<tex>f(x,y)</tex>$ en $<tex>(1,1)</tex>$ , tiene que cumplir que: $<tex>p(1,1) = f(1,1), \nabla p(x,y) = \nabla f(x,y), H_g(1,1) = H_f(1,1)</tex>$ , sacando las derivadas parciales de $<tex>p</tex>$ obtengo los datos de $<tex>f</tex>$ . Luego saco el gradiente de $<tex>g</tex>$ y lo igualo al vector $<tex>\mathbf{0}</tex>$ , exigiendo que se cumpla en el $<tex>(1,1)</tex>$ , creo que A me daba $<tex>\frac{-3}{2}</tex>$ , armo la Hessiana de $<tex>g</tex>$ y me quedó que se alcanza un máximo en ese punto.

Punto III

Este es otro ejercicio que me salió muy facil y por eso tengo dudas de que esté bien hecho. Pase de coordenadas polares a cartesianas $<tex>x=\rho \cos \theta</tex>$ $<tex>y=\rho \sin \theta</tex>$ Reemplazo $<tex>\rho = 3 \theta</tex>$ en $<tex>x</tex>$ e $<tex>y</tex>$ y parametrizo la curva: $<tex>\gamma (\theta) = (3 \theta \cos \theta, 3 \theta \sin \theta)</tex>$ Derivo para sacar el vector tangente a la curva: $<tex>\gamma \prime (\theta) = (3(\cos \theta - \theta \sin \theta), 3 (\sin \theta + \theta \cos \theta))</tex>$ Evaluando $<tex>\theta = \frac {\pi}2</tex>$ en gama tengo el punto de paso, y en la derivada de gama tengo la direccion de la recta y listo.

Punto IV

Defino la superficie $<tex>S</tex>$ en forma implícita, para sacar el gradiente que por propiedad es perpendicular al plano tangente a $<tex>S</tex>$ , y lo puedo usar como vector normal. Saco los vectores directores de las rectas derivando. Para que cumpla con lo pedido, la normal del plano tangente debe ser perpendicular a los dos vectores tangentes a las rectas, lo consigo haciendo el producto cruz, e igualandolo a una cte por la normal (porque tiene que ser un vector paralelo a la normal), haciendo las cuentas que ni da para escribirlas, queda $<tex>x</tex>$ como variable independiente (aguante el rojo! cuak), $<tex>y</tex>$ depende de $<tex>x</tex>$ , $<tex>z</tex>$ depende de $<tex>x</tex>$ . Reemplazo estos valores en la ecuación de $<tex>S</tex>$ y obtengo los puntos, que son dos, saco las normales en esos puntos y armo el plano tangente. Creo que el desarrollo esta bien pero me dio un montón de raíces de $<tex>2</tex>$ .

Punto V

Derivo a $<tex>f</tex>$ respecto de $<tex>x</tex>$ , $<tex>y</tex>$ y $<tex>z</tex>$ . Como las derivadas parciales son continuas, entonces $<tex>f</tex>$ es diferenciable, entonces puedo definir a la derivada direccional como $<tex>f'((1,2,-1), \vec v)= \nabla f (1,2,-1) \cdot \vec v</tex>$ , y empiezo a sacar las condiciones, la dirección tiene que ser máxima, y esto se logra en la dirección del vector gradiente por propiedad, dicha dirección tiene que ser unitaria por eso hay que normalizar al gradiente, tiene que ser paralela al eje $<tex>z</tex>$ , o dicho de otro modo paralela al vector $<tex>(0,0,1)</tex>$ , con esto saque $<tex>a</tex>$ y $<tex>b</tex>$ , luego la derivada direccional la igualo a $<tex>64</tex>$ y saco $<tex>c</tex>$ .

Discusión

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