Parcial - 61:03. Análisis Matemático II – 07/11/06 Tema 2

06 Tema 2

Cátedra: Sirne
Fecha:07/11/06 2º Oportunidad – 2º Cuatrimestre - Tema 2

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Enunciado

1. La función $<tex>z=f(x,y)</tex>$ está definida por la ecuación $<tex>xy-z^2+3xyz=10</tex>$ en el entorno de $<tex>(x_0,y_0,z_0)=(1,2,2)</tex>$ . Mostrar que la curva parametrizada por
$<tex>t\rightarrow(14t+29,7t+16,4-t^2/2),-3\leq t\leq3</tex>$
es perpendicular al gráfico de $<tex>f</tex>$ en $<tex>(1,2,2)</tex>$

Resolución

1º Busco un vector tangente a la curva el cual tiene la misma dirección que la derivada $<tex>C'(t)=(14,7,-t)</tex>$
Calculo el valor de $<tex>t</tex>$ en el punto $<tex>(1,2,2)</tex>$
$<tex>(1,2,2)= (14t+29,7t+16,4-t^2/2)</tex>$
$<tex>t=-2</tex>$ $<tex>C'(-2)=(14,7,2)</tex>$ (Vector tangente a la curva).
2º Busco el Gradiente de F
$<tex>\frac{df}{dx}=y+3yz</tex>$ $<tex>\frac{df}{dx}(1,2,2,)=14</tex>$
$<tex>\frac{df}{dy}=x+3xz</tex>$ $<tex>\frac{df}{dy}(1,2,2)=7</tex>$
$<tex>\frac{df}{dz}=-2z+3xy</tex>$ $<tex>\frac{df}{dz}(1,2,2)=2</tex>$
$<tex>\nabla f(14,7,2)</tex>$ como es paralelo al vector tangente a la curva, pruebo que dicho vector es perpendicular a la superficie.

Discusión

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