Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A - 04/11/2006
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
- Discusión

2006

Cátedra: Todas
Fecha: X Oportunidad - 2° Cuatrimestre 2006
Día: 04/11/2006

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Sea $<tex>f\colon \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} </tex>$ una función $<tex> C^1</tex>$ tal que $<tex>f(2,1)=1 </tex>$ , y el plano $<tex>3x-2y+3z=2 </tex>$ es tangente al gráfico de $<tex> f</tex>$ en $<tex>(1,2,1) </tex>$ . Hallar una ecuación del plano tangente en $<tex>(1,2,1) </tex>$ a la superficie $<tex>4xz-3yf(x,y)+xyz=0 </tex>$ .

Punto II

Sea $<tex>F\colon \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^3 </tex>$ dada por
$<tex>F(x,y)=\left(x,y,xy-x^2\right)</tex>$ y sea $<tex> C</tex>$ la curva imagen de $<tex> F</tex>$ de la circunferencia de ecuación $<tex> x^2+y^2=2</tex>$ . Hallar una ecuación para el plano ortogonal a $<tex> C</tex>$ en el punto $<tex> (1,1,0)</tex>$ .

Punto III

Hallar los extremos de $<tex>xy+5yz+5xz </tex>$ con la restricción $<tex> x+y+5z=30</tex>$ .

Punto IV

Resolver y fundamentar brevemente su respuesta:

Construir una $<tex>f\colon \mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R} \quad C^2 </tex>$ que tenga máximo local $<tex>3 </tex>$ en $<tex> (-1,1)</tex>$ y en $<tex> (0,0)</tex>$ valga $<tex>2 </tex>$ .
Dada $<tex>f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}</tex>$ . Hallar todos los vectores unitarios $<tex>\check{v} </tex>$ tales que $<tex>f'\left((1,1),\check{v}\right)=0</tex>$ .

Punto V

Sean $<tex>u</tex>$ y $<tex>v</tex>$ las funciones de $<tex>x,y</tex>$ definidas por el sistema de ecuaciones:
$<tex> \left\{\begin{array}{rcl} 2x-f(u) & = & 0\\ 14-y^2+v & = & uf(u) \end{array} \right.</tex>$
en el entorno de $<tex>\left(x_0,y_0,u_0,v_0\right)=(1,3,2,-1)</tex>$ , siendo $<tex>f \colon \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R} </tex>$ una función $<tex>C^2</tex>$ tal que $<tex>f(2)=2 </tex>$ , $<tex>f'(2)=1</tex>$ . Hallar un vector tangente en $<tex>(1,3) </tex>$ a la curva en el plano $<tex>xy</tex>$ de ecuación $<tex>u(x,y)+2v(x,y)=0</tex>$ .

Resolución

Discusión

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