Parcial – 61.03. Análisis Matemático – 19/10/06 - TEMA 2

06 - TEMA 2

Cátedra: Sirne
Fecha: 1º Oportunidad - (2º Cuatrimestre) TEMA 2
Día: 19/10/2006

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Enunciado

1. Hallar la máxima distancia al origen de los puntos sobre la curva de ecuación $<tex>x^2+2x+y^2-4y=20</tex>$ . Interpretar geométricamente.
2. La máxima derivada direccional de una función $<tex>C^1 f </tex>$ en $<tex> (2,1) </tex>$ vale 5, y $<tex>\frac{df}{dy}(2,1)=2</tex>$ . Hallar $<tex>\nabla (f)(2,1) </tex>$ sabiendo además que $<tex>\frac{df}{dx}(2,1)</tex>$ es positiva.
3. Sea $<tex>C</tex>$ la curva parametrizada por $<tex>t\rightarrow(cos^2t+2,sent,-cost), \quad t\in(0,2\pi)</tex>$ . Hallar todos los puntos $<tex>C</tex>$ en los que su plano normal es paralelo al plano $<tex>xy</tex>$ .
4. Resolver y fundamentar brevemente su respuesta
(a) ¿En qué puntos de la superficie de ecuación $<tex>z=16x^4+y^4-8x^2y^2</tex>$ es su plano tangente horizontal?
(b) Dada una función $<tex>f: R^2\rightarrow R</tex>$ tal que $<tex>\frac{df}{dy}(1,3)\not=0</tex>$ y $<tex>f(1,3)=5</tex>$ , sea $<tex>y(x)</tex>$ la función definida por la ecuación $<tex>f(x,y)=5</tex>$ en un entorno de $<tex>(1,3)</tex>$ a la curva de ecuación $<tex>f(x,y)=5</tex>$ hallar y'(1).
5. Sea $<tex>S</tex>$ la superficie parametrizada por
$<tex>(u,v)\rightarrow(u+2v,u-v,u^2),\quad 1/2<u<2, -1<v<1</tex>$ Hallar un vector tangente en $<tex>(1,1,1)</tex>$ a la intersección de $<tex>S</tex>$ con el plano de ecuación $<tex>x-y=0</tex>$ .

Resolución

Discusión

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