Examen (Parcial) - 61.03. Análisis Matemático II
Cátedra: Sirne/12
Fecha: 1er Oportunidad - (2do Cuatrimestre) 2006
Día: 19/10/2006
Enunciado
- Hallar la máxima distancia al origen de los puntos sobre la curva de ecuación
.Interprete gráficamente. - La máxima derivada direccional de una función
en 
vale 4, y 
. Hallar 
sabiendo además que 
es positiva. - Sea
la curva parametrizada por 
Hallar todos los puntos de en los que su plano normal es paralelo al plano 
. - Resolver y fundamentar brevemente su respuesta
- ¿En qué puntos de la superficie de educación
es su plano tangente horizontal? - Dada una función
tal que 
y 
, sea 
la función definida por la ecuación 
en un entorno de 
. Sabiendo que el vector 
es tangente en a la curva de ecuación 
, hallar 
.
- Sea
la superficie parametrizada por 
Hallar un vector tangente en 
a la intersección de
con el plano de ecuación 
.
Resolución
Punto II
El valor de la derivada direccional de una función C1 en determinado punto esta dada por la norma del vector que determina esta dirección.
La derivada direccional máxima de una función C1 en un punto esta dada por su gradiente.
Con lo dicho se puede interpretar la primer frase del enunciado como 
(1)
El gradiente está compuesto por las derivadas parciales con respecto a sus variables:
![<tex>\| \nabla f (2,1) \| = \left[ \frac{\partial f}{\partial x} (2,1) , \frac{\partial f}{\partial y} (2,1) \right]</tex>](lib/plugins/latex/images/230687cc5ddde8b9e39c689e3f1957512761d87b_0.png "<tex>\| \nabla f (2,1) \| = \left[ \frac{\partial f}{\partial x} (2,1) , \frac{\partial f}{\partial y} (2,1) \right]</tex>")
Pero por el dato del enunciado sabemos que 
Por (1) podemos escribir:
![<tex> \sqrt { \left[\frac{\partial f}{\partial x} (2,1)\right]^2 + 2^2 } = 4 </tex>](lib/plugins/latex/images/af0ba77f555046fe44f3ad821936ff87244d4adc_0.png "<tex> \sqrt { \left[\frac{\partial f}{\partial x} (2,1)\right]^2 + 2^2 } = 4 </tex>")
entonces…
Se pide el valor positivo de 
por lo tanto el gradiente pedido es:
Punto III
Se pide que el plano tangente sea paralelo al xy, lo cual equivale a pedir que su vector normal tenga la siguiente estructura:
(1)
La dirección normal al plano normal de una curva es la misma que la de su vector tangente en ese punto. El vector tangente a una curva puede obtenerse derivando cada componente de su expresión parametrizada:
Por lo dicho en (1) necesitamos que:
Igualamos componente a componente:
y 
cumplen lo pedido.
Entonces los puntos de 
en los cuales su plano normal es paralelo al son:
y 
Punto IV
Parte A
El ejercicio nos pide los puntos donde el plano tangente a la superficie dada, es horizontal, esto es decir
que debe ser paralelo al plano o lo que es equivalente tener como normal un vector de la forma 
Y para obtener la normal de la superficie redefinimos la funcion dada como
y elegimos la superficie de nivel 0 de esta funcion, de esta forma
podemos decir que 
sera perpendicular a la superficie de nivel que tenemos punto
a punto (que es igual a la que nos dieron de dato).
Con lo cual obtenemos la normal del plano a la que debemos aplicar la restriccion antes encontrada.
Aplicamos la restriccion haciendo:
con esto deducimos :
(1)
(2)
(3)
de 1 
haciendo la aclaracion 
despejamos 
y de ahi despejamos 
de 2 
haciendo la aclaracion 
despejamos 
y obtenemos 
que es equivalente a lo obtenido en 1.
Analizamos ahora el caso de 
e 
.
Primero reemplazamos en las ecuaciones. En 1 no obtengo informacion, en 2 obtengo
osea que cuando se debe cumplir que .
Luego reemplazamos en las ecuaciones. En 2 no obtengo informacion, en 1 obtengo
osea que cuando se debe cumplir que , que es compatible con la info obtenida anteriormente.
Obtuvimos que los puntos que cumplen las condiciones impuestas son los puntos de los planos osea
y 
incluyendo el caso e .
Reemplazo ahora en la ecuacion de la superficie, (por que conocemos los puntos que cumplen, ahora de ellos, debemos encontrar los que estan en la superficie dada).
reemplazo me da 
,
, usando tambien tengo .
Entonces la solucion del problema son los puntos de las rectas:
, y
, .
