Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A - 14/10/2006
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
- Discusión

2006

Cátedra: Todas
Fecha: X Oportunidad - 2° Cuatrimestre 2006
Día: 14/10/2006

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Sea $<tex>f\colon \mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R}</tex>$ una función $<tex>C^1 </tex>$ tal que $<tex>f(1,1)=2</tex>$ y $<tex>f'\left((1,1),\check{v}\right)=2</tex>$ , siendo $<tex>\check{v}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)</tex>$ un vector unitario en la dirección de $<tex>\nabla f(1,1)</tex>$ . Hallar $<tex>\frac{\partial f}{\partial x} (1,1)</tex>$ .

Punto II

Sea $<tex>C</tex>$ la curva de ecuaciones $<tex>x^2+y^2=4, \ z=2x^2+y^2 </tex>$ . Hallar todos los puntos de $<tex>C</tex>$ en los que su recta tangente es paralela al eje $<tex>x </tex>$

Punto III

Dada $<tex>f(x,y)=xye^{2by^2-ax^2}</tex>$ , hallar $<tex>(a,b)</tex>$ tal que $<tex>f</tex>$ tenga extremo local en $<tex>\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)</tex>$ y en ese caso hallar todos los extremos de $<tex>f</tex>$ y clasificarlos.

Punto IV

Resolver y fundamentar brevemente su respuesta:

Hallar $<tex>r</tex>$ sabiendo que el máximo de $<tex>x+y</tex>$ en la curva de ecuación $<tex>x^2+y^2=r^2</tex>$ es $<tex>3</tex>$ .
Sabiendo que el gradiente de una función $<tex>C^1</tex>$ $<tex>f</tex>$ en $<tex>(1,2)</tex>$ es $<tex>(-1,2)</tex>$ y $<tex>f(1,2)=2</tex>$ , hallar una ecuación para la recta tangente a la curva de ecuación $<tex>f(x,y)=2</tex>$ en $<tex>(1,2)</tex>$ .

Punto V

Sean $<tex>u</tex>$ y $<tex>v</tex>$ las funciones de $<tex>x,y,z</tex>$ definidas por el sistema de ecuaciones
$<tex>\left\{ \begin{array}{rcl} xe^y+uz-\cos (v) & = & 2\\ u \cos (y) + x^2 v -yz^2 & = & 1 \end{array} \right.</tex>$
en el entorno de $<tex>\left( x_0, y_0, z_0, u_0, v_0 \right) = (2,0,1,1,0)</tex>$ . Hallar una ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación $<tex>uv=0</tex>$ en el punto $<tex>(2,0,1)</tex>$

Resolución

Discusión

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