Parcial - 61:03. Análisis Matemático II – 27/05/06 - TEMA 2

06 - TEMA 2

Cátedra: Acero
Fecha:27/05/06 2º Oportunidad – 1º Cuatrimestre

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Enunciado

Sea $<tex>C</tex>$ la curva en $<tex>\mathbf{R}^2</tex>$ de ecuación $<tex> 2x^2+y^2=1</tex>$ . Hallar una dirección tangente a $<tex>C</tex>$ en $<tex>(0,1)</tex>$ de manera que la derivada direccional de $<tex>f(x,y)=\frac{(2x+y)}{\left(1+2x^2+y^2\right)}</tex>$ en $<tex>(0,1)</tex>$ en esa dirección sea positiva.
Hallar $<tex>a</tex>$ de manera que la recta de ecuaciones $<tex>x+y=0</tex>$ , $<tex>y+z=1</tex>$ sea tangente en $<tex>(-2,2,-1)</tex>$ a la superficie parametrizada por $<tex>(u,v)\rightarrow\left(-1+v,uv+2v^2,v+2au\right),\ -1<u<1 ,\ -2<v<2</tex>$ .
Sean $<tex>u(x,y),v(xy)</tex>$ definidas por el siguiente sistema de ecuaciones

$<tex>uv-vx+uy=0</tex>$ $<tex>uv+ux-y^2=-1</tex>$ en el entorno de $<tex>(x_0,y_0,u_0,v_0)=(-1,0,-1,2)</tex>$ . Si $<tex>g(xy)=u^2-v</tex>$ , calcular aproximadamente $<tex>g(-0.99,-0.01)</tex>$ .

Resolver y fundamentar brevemente su respuesta

(a)Hallar los máximos y mínimos de $<tex>f(x,y)=1-y^2</tex>$ restringida a la curva de ecuación $<tex>(x-2)^2+y^2=1</tex>$ . Graficar.
(b)Construir una función $<tex> f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} </tex>$ de clase $<tex>C^3</tex>$ tal que su polinomio de Taylor de grado 2 en $<tex>(0,1)</tex>$ sea

$<tex>p(x,y)=2+x+y^2+xy</tex>$ y $<tex>f(0,0)=5</tex>$ .

Hallar todos los $<tex>a,b</tex>$ $<tex>a\not=0</tex>$ tales que

$<tex>f(x,y)=2a(x-1)^2+b(y+2)^2-y^3</tex>$ tiene extremo en $<tex>(1,1)</tex>$ .

Resolución

1.

$<tex>\nabla C=(4x,2y)</tex>$ $<tex>\nabla C(0,1)=(0,2)</tex>$ El vector tangente es perpendicular al gradiente entonces si los multiplico tiene que dar 0.

$<tex>(0,2)(xy)=0</tex>$ $<tex>2y=0</tex>$ $<tex>y=0</tex>$ $<tex>(x,y)=(x,0)=x(1,0)</tex>$

$<tex>\nabla F(0,1)=(4,0)</tex>$

La derivada direccional tiene que ser mayor a 0: $<tex>\nabla F(0,1).(1,0)>0</tex>$ $<tex>(4,0).(1,0)>0</tex>$ $<tex>4>0</tex>$

$<tex>(1,0) </tex>$ es una dirección en donde la derivada de $<tex>F(x,y) </tex>$ es positiva y además $<tex>(1,0) </tex>$ es un vector tangente a $<tex>C</tex>$ en $<tex>(0,1) </tex>$ .

* 2.

$<tex>a=0</tex>$ .

5.

$<tex>a<0</tex>$ $<tex>b=1/2</tex>$ .

Discusión

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