Enunciado

Sea C la curva de ecuaciones en coordenadas polares $<tex> \rho = 2 \cos (\theta) </tex>$ . Graficar C y hallar una ecuación para su recta tangente en $<tex>\left( \frac {1}{2}, \frac {\sqrt{2}}{2} \right) </tex>$ .
Hallar la intersección de la superficie parametrizada por
$<tex> (u,v)\rightarrow ( 1 + u, u + v, 2u + v^2), con -1<u<1, -2<v<2 </tex>$
con su plano tangente en (1,0,0).
Sea $<tex> f \colon R^2 \mapsto R </tex>$ una función $<tex> C^3 </tex>$ con mínimo local en (0,2). Hallar la máxima derivada direccional de
$<tex>g(x,y) = {f}^2 (x-y, x^2 + y) + x^3y </tex>$
en (1,1)
Resolver y fundamentar brevemente su respuesta

(a) Construír una función $<tex> f \colon R^2 \mapsto R </tex>$ tal que tenga un mínimo en todos los puntos de la recta de ecuación x + y = 1.
(b) Hallar los puntos más cercanos al origen en la curva de ecuación $<tex> x^3 + y^3 = 1 </tex>$ .

Dada $<tex> F \colon R^3 \mapsto R </tex>$ una función $<tex> C^3 </tex>$ tal que F(0,2,2)=0 y $<tex> \nabla (F)(0,2,2) = (-1,1,2) </tex>$ , sea $<tex>S_1</tex>$ la superficie de ecuación F(x,y,z) = 0. Sea $<tex>S_2</tex>$ la superficie parametrizada por
$<tex>(\rho, \theta) \rightarrow (\rho \cos (\theta), 2, \rho \sin (\theta)), 1< \rho <3, - \pi < \theta < \pi </tex>$
Si C es la curva de intersección de $<tex>S_1</tex>$ y $<tex>S_2</tex>$ , hallar aproximadamente la intersección de C con el plano de ecuación z = 1,9.

Resolución

Paso de coordenadas polares a cartesianas, sabiendo que:
$<tex> x = \rho \cos \theta </tex>$
$<tex> y = \rho \sin \theta </tex>$
$<tex> {\rho}^2 = x^2 + y^2 </tex>$
Para continuar hago un “truco” muy común cuando se trabaja en coordenadas polares:
$<tex> \rho = 2 \cos (\theta)</tex>$
multiplico en ambos lados por $<tex> \rho </tex>$ y queda
$<tex> {\rho}^2 = 2 \rho \cos (\theta) </tex>$ , comparando con las primeras expresiones
$<tex> x^2 + y^2 = 2x </tex>$
Paso el 2x para el otro lado y completo cuadrados
$<tex> {(x-1)}^2 + y^2 =1 </tex>$ ( Ec. de una circunferencia de radio 1 con centro en (1,0))

Parametrizo la curva $<tex> \gamma (t) = (\cos (t) + 1, \sin (t))</tex>$ con $<tex> C = graf(\gamma) </tex>$
Luego el vector director de la recta tangente es la derivada
$<tex> \gamma \prime (t) = (- \sin (t), \cos (t)) </tex>$
Busco la preimagen en el punto pedido: $<tex> \cos (t) + 1 = \frac {1}{2} </tex>$ y $<tex> \sin (t) = 1 </tex>$
obtengo que $<tex> t= \frac {2}{3} \pi </tex>$ , y el vector director será $<tex>\gamma \prime \left( \frac {2}{3} \pi \right) = \left( - \frac {\sqrt 3}{2}, - \frac {1}{2} \right) </tex>$ , Luego la recta tangente queda
$<tex> {\vec r}_t = \lambda \left( \frac {\sqrt 3}{2}, \frac {1}{2} \right) + \left( \frac {1}{2}, \frac {\sqrt 3}{2} \right) </tex>$

Siendo la superficie S parametrizada por $<tex> \sigma (u,v) = \left( 1+u, u+v, 2u + v^2 \right) </tex>$ hallo la preimagen en el (1,0,0) y me queda que u = 0 y v = 0, los cuales pertenecen a los intervalos pedidos. Luego necesitamos el vector normal a la superficie que será perpendicular tanto al vector tangente dada por la curva u = cte como al vector tangente dada por la curva v = cte. Osea $<tex> N = {\Sigma}^{\prime }_u x {\Sigma}^{\prime}_v </tex>$ .
$<tex> {\Sigma}^{\prime}_u(u,v) = (1,1,2) \qquad {\Sigma}^{\prime}_v(u,v)=(0,1,2v) </tex>$

$<tex> {\Sigma}^{\prime}_u(0,0) = (1,1,2) \qquad {\Sigma}^{\prime}_v(0,0)=(0,1,0) </tex>$
$<tex> N = {\Sigma}^{\prime}_u (0,0) x {\Sigma}^{\prime}_v (0,0) = \left| \begin{array}{ccc} \breve i & \breve j & \breve k \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right| =(-2,0,1) </tex>$
Luego la ecuación del plano tangente está dado por
$<tex> \Pi : N(X-P)=0 \\ (-2,0,1)[(x-1), y, z]=0 \\ z = 2(x-1) </tex>$
Busco la intersección de $<tex> \Pi </tex>$ con $<tex> S </tex>$
$<tex> x= 1+u, \ y = u+v, \ z = 2u + v^2 \\ 2u+v^2=2(1+u-1) \\ v^2=2u-2u=0 \\ v=0 </tex>$
La intersección es:
$<tex> \Sigma (u,0) = (1+u, u, 2u)= u(1,1,2) + (1,0,0) \ con \ u \in (-1,1) </tex>$
que no es mas que la ecuación de un segmento.
Nota: Aunque sea un detalle vale mencionar, fijense que no es lo mismo S que $<tex> \Sigma </tex>$ , sino que S es la supeficie en si, es decir la grafica, mientras que $<tex> \Sigma </tex>$ es la parametrización de S: $<tex> S=Img (\Sigma) </tex>$