Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
- Discusión

Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A

Cátedra: Todas
Fecha: Segundo Recuperatorio - Segundo Cuatrimestre 2005
Día: 13/12/2005
Tema: 3

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Sea $<tex>S</tex>$ la superficie parametrizada por $<tex>(u,v) \rightarrow (u-1, v, u^2+v^2+2)</tex>$ , $<tex>-1 < u < 1</tex>$ , $<tex>-1 < v < 1</tex>$ . Mostrar que todas las rectas normales a $<tex>S</tex>$ cortan la recta de ecuaciones $<tex>x = -1</tex>$ , $<tex>y = 0</tex>$ .

Punto II

Sea $<tex>F(x,y) = ( u(x,y), v(x,y) )</tex>$ , con $<tex>u(1,2) = 1</tex>$ , $<tex>v(1,2) = 3</tex>$ , una función $<tex>C^2</tex>$ de $<tex>R^2</tex>$ en $<tex>R^2</tex>$ con matriz jacobiana

$<tex>\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}</tex>$ = $<tex>\left[ \begin{array}{cc} 2x & 2y \\ 4x & -2y \end{array} \right]</tex>$

y sea $<tex>f(x,y) = {(3u-v)}^2</tex>$ . Calcular $<tex>\dfrac{{\partial}^2 f}{\partial {x}^2} (1,2)</tex>$ .

Punto III

Sea $<tex>f: R^2 R</tex>$ $<tex>C^3</tex>$ tal que su polinomio de Taylor de grado 2 en $<tex>(0,0)</tex>$ es $<tex>2 + 2xy + x^2 + 2y^2</tex>$ , y sea $<tex>F(x,y) = 5 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + 3 \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</tex>$

Hallar $<tex>\nabla F (0,0)</tex>$ .
Si $<tex>y = y(x)</tex>$ es la función definida implícitamente por $<tex>F(x,y) = 0</tex>$ en un entorno de $<tex>(x_{0},y_{0}) = (0,0)</tex>$ , hallar $<tex>y'(0)</tex>$ .

Punto IV

Resolver y fundamentar brevemente su respuesta:

Sabiendo que el vector $<tex>v = (-1,1,2)</tex>$ es tangente a la curva $<tex>C</tex>$ parametrizada por $<tex>t \rightarrow (x(t),y(t),z(t))</tex>$ , $<tex>-1 < t < 1</tex>$ en $<tex>( x(0), y(0), z(0) )</tex>$ , hallar un vector tangente a la proyección de $<tex>C</tex>$ en el plano $<tex>xy</tex>$ en el punto $<tex>( x(0), y(0), 0 )</tex>$ .
Mostrar un ejemplo de una función $<tex>C^2</tex>$ tal que restringida a $<tex>x = 2</tex>$ tenga máximo local estricto en $<tex>(2,0)</tex>$ y restringida a $<tex>y = 0</tex>$ tenga mínimo local estricto en $<tex>(2,0)</tex>$