Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
- Discusión

Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A

Cátedra: Todas
Fecha: Primer Recuperatorio - Segundo Cuatrimestre 2005
Día: 05/11/2005
Tema: 1

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Hallar los números reales $<tex>\alpha</tex>$ y $<tex>\beta</tex>$ sabiendo que la curva parametrizada por $<tex>t \rightarrow ( 2 \alpha (t^2-t) , \beta t + 10 , 3 t )</tex>$ es perpendicular en $<tex>(0,1,3)</tex>$ a la superficie de ecuación $<tex>z = 3 \sqrt{x^2+y^2}</tex>$

Punto II

Sea $<tex>S</tex>$ la superficie de ecuación $<tex>{(2x + 1)}^2 + {(y + 1)}^3 + (z + 1)e^{z} = 3</tex>$

Mostrar que $<tex>(0,0,0)</tex>$ está en la intersección de $<tex>S</tex>$ con la recta de ecuaciones $<tex>x = 0</tex>$ , $<tex>y = 0</tex>$ .

Hallar aproximadamente un punto en la intersección de $<tex>S</tex>$ con la recta de ecuaciones $<tex>x = 0.1</tex>$ , $<tex>y = -0.1</tex>$ .

Punto III

Sea $<tex>f : R^2 \rightarrow R</tex>$ $<tex>C^3</tex>$ tal que su polinomio de Taylor de grado 2 en (0,0) es $<tex>2 - 2ax + 2xy + bx^2 + 2y^2</tex>$ . Hallar algún par $<tex>a</tex>$ , $<tex>b</tex>$ de manera que $<tex>g(u,v) = f(u-v,2u-2)</tex>$ tenga extremo en $<tex>(1,1)</tex>$ .

Punto IV

Resolver y fundamentar brevemente su respuesta:

Sea $<tex>F : R^3 \rightarrow R</tex>$ una función $<tex>C^2</tex>$ tal que $<tex>F(1,2,3) = 0</tex>$ , $<tex>\nabla(F)(1,2,3)\neq(0,0,0)</tex>$ y el plano tangente a la superficie de ecuación $<tex>F(x,y,z) = 0</tex>$ en $<tex>(1,2,3)</tex>$ tiene ecuación $<tex>3x + 2y + z = 10</tex>$ . Hallar una ecuación para la recta tangente a la curva de ecuaciones $<tex>F(x,y,z) = 0</tex>$ , $<tex>x + y = 3</tex>$ en $<tex>(1,2,3)</tex>$ .

Mostrar un ejemplo de una función $<tex>f : R^2 \rightarrow R</tex>$ que, restringida a la recta $<tex>x = 0</tex>$ , tenga mínimo local en $<tex>(0,2)</tex>$ , pero no tenga mínimo local en $<tex>(0,2)</tex>$ si se la considera sin restricciones.