Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
- Discusión

Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A

Cátedra: Todas
Fecha: Primer Parcial - Segundo Cuatrimestre 2005
Día: 15/10/2005
Tema: 4

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Sea $<tex>S</tex>$ la superficie en $<tex>\mathbf{R}^3</tex>$ de ecuación $<tex>x^2 + y^2 = 4</tex>$ . Hallar los puntos $<tex>P</tex>$ en $<tex>S</tex>$ tales que la recta normal a $<tex>S</tex>$ en $<tex>P</tex>$ pasa por $<tex>(2,2,5)</tex>$ .

Punto II

Sabiendo que el plano tangente en $<tex>P = (2,2,5)</tex>$ al gráfico de una función $<tex>C^2</tex>$ $<tex>f\colon\mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}</tex>$ , tal que $<tex>f(1,1) = 2</tex>$ , es paralelo al plano de ecuación $<tex>3x + 3y + 3z = 0</tex>$ , hallar una ecuación de la recta tangente en $<tex>(1,1)</tex>$ a la curva en $<tex>\mathbf{R}^2</tex>$ de ecuación $<tex>f(x,y) + 5xy = 7</tex>$ .

Punto III

Sea $<tex>f \colon \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}</tex>$ una función $<tex>C^3</tex>$ con mínimo local en $<tex>(2,2)</tex>$ con $<tex>f(2,2) = 2</tex>$ , con matriz Hessiana:

$<tex>H(f)(2,2) = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right]</tex>$

Hallar $<tex>a</tex>$ y $<tex>b</tex>$ tales que

$<tex>g(x,y) = f^2(x,y) + a{(x - 2)}^2 + b{(y - 2)}^2</tex>$

tenga máximo local en $<tex>(2,2)</tex>$

Punto IV

Resolver y fundamentar brevemente su respuesta:

Sea $<tex>F: \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}</tex>$ una función $<tex>C^2</tex>$ tal que $<tex>F(-1,1,1) = 0</tex>$ y $<tex>\nabla (F)(-1,1,1) \neq (0,0,0)</tex>$ . Sabiendo que la recta normal a la superficie $<tex>S</tex>$ de ecuación $<tex>F(x,y,z) = 0</tex>$ en $<tex>(-1,1,1)</tex>$ pasa por el origen, mostrar que $<tex>S</tex>$ es tangente en $<tex>(-1,1,1)</tex>$ a la esfera de ecuación $<tex>x^2 + y^2 + z^2 = 3</tex>$

Sea $<tex>f : \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} </tex>$ $<tex>C^1</tex>$ tal que $<tex>f(1,1) = 1</tex>$ . Sabiendo que la superficie parametrizada por

$<tex>(u,v) \rightarrow \left(5u-4v,3u^2-2v,\frac{u}{v}\right)</tex>$ , $<tex>\frac{1}{6} < u < \frac{3}{2}</tex>$ , $<tex>\frac{1}{6} < v < \frac{3}{2}</tex>$