Examen Final - 61.03. Análisis Matemático II - 19/12/2013
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
- Discusión

2013

Cátedra: Todas
Fecha: Primer Oportunidad - Verano 2013
Día: 19/12/2013

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Enunciado

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Hallar, analíticamente, la distancia mínima entre el punto $<tex>(0,0)</tex>$ y la curva, contenida en el primer cuadrante, definida por la ecuación diferencial $<tex>6xy\,dx+3x^2\,dy=0</tex>$ que pasa por el punto $<tex>(2,\frac{1}{2})</tex>$ . Graficar la curva.

Punto II

Hallar el área de la porción de superficie descripta por $<tex>z=3x^2</tex>$ con $<tex>y \leq x</tex>$ , $<tex>z \leq 8-x^2</tex>$ , en el primer octante.

Punto III

Sea $<tex>\vec{F}(x,y,z)=(f(x,y,z),2,f(x,y,z))</tex>$ un campo vectorial $<tex>C^2(\Re^3)</tex>$ . Verificar que la circulación del campo a lo largo del perímetro del triángulo de vértices $<tex>(2,1,3)\to(5,1,0)\to(0,2,5)\to(2,1,3)</tex>$ es nula.

Punto IV

Hallar $<tex>a</tex>$ y $<tex>b</tex>$ de manera que el campo $<tex>\vec{F}=(2xy+bz,ax^2,x+z)</tex>$ sea conservativo. Para los valores hallados calcular la circulación del campo a lo largo de la curva intersección de las superficies $<tex>x+2y+3z=4</tex>$ y $<tex>4x^2+2y^2+4z^2=8</tex>$ en el primer octante, desde $<tex>(1,0,1)</tex>$ hasta $<tex>(0,2,0)</tex>$ . Graficar las superficies y la curva.

Punto V

Sea el campo vectorial $<tex>\vec{F}(x,y,z)=(2x^3,2y^3,2z)</tex>$ y $<tex>S</tex>$ la superficie descripta por $<tex>z=a(1-\sqrt{x^2+y^2})</tex>$ , $<tex>z \geq 0</tex>$ . Hallar $<tex>a>0</tex>$ de manera que el flujo de $<tex>\vec{F}</tex>$ a través de $<tex>S</tex>$ , orientada de manera que su normal tenga componente $<tex>z</tex>$ positiva, sea $<tex>\pi</tex>$ .

Resolución

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Discusión

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