Examen Final - 61.03.Análisis Matemático II A - 16/07/2008
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Discusión

2008

Tema: 1 Día: 16/07/2008

Enunciado

Punto I

Hallar la curva solucion de $<tex>y'=\frac{x-y}{x}</tex>$ cuya recta tangente en el punto $<tex>(1,y(1))</tex>$ es paralela a la recta de ecuacion $<tex>y-2x=3</tex>$ .

Calcular la masa de la superficie cónica $<tex>\left\{ \begin{array}{c}z^2=x^2+y^2 \\0 \leq z \leq 2 \\y \geq x\end{array} \right.</tex>$ siendo la densidad en cada punto proporcional a su distancia al plano $<tex>xy</tex>$

Punto III

Hallar el volumen del cuerpo K definido por $<tex>\left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2+z^2 \leq 4 \\x^2+(y-1)^2 \leq 1 \\z \geq 0\end{array} \right.</tex>$

Punto IV

Sea $<tex>\vec F(x,y,z)=(2,Q(x,y,z),R(x,y,z))</tex>$ campo vectorial $<tex>C^2</tex>$ en $<tex>R^3</tex>$ tal que $<tex>rot \vec F(x,y,1)=(-y,x,3)</tex>$ . Calcular la circulación del campo $<tex>\vec F</tex>$ a lo largo de la curva C parametrizada por $<tex>\gamma(t)=(\cos(t),\sin(t),1), 0 \leq t \leq \pi</tex>$ de forma que la tangente en cada punto tenga coordenada $<tex>x</tex>$ negativa.

Punto V

Sea $<tex>\vec f(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),h(z))</tex>$ un campo vectorial $<tex>C^\infty</tex>$ en $<tex>R^3</tex>$ tal que $<tex>div \vec f(x,y,x)=2x^2+2y^2</tex>$ y $<tex>h(z)=h(-z)</tex>$ . Sea la superficie $<tex>S=\left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2=1 \\-1 \leq z \leq 1\end{array} \right.</tex>$ . Calcular el flujo de $<tex>\vec f</tex>$ a través de $<tex>S</tex>$ con la normal alejándose del eje z.

Resolución

Punto I

Tenemos la ecuacion diferencial $<tex>y'=\frac{x-y}{x}</tex>$ vamos a despejar un poco, “pasando” la $<tex>x</tex>$ multiplicando a $<tex>y'</tex>$

$<tex>xy'=x-y</tex>$ , pasamos la $<tex>y</tex>$ y nos queda formada la siguiente ecuacion diferencial $<tex>xy'+y=x</tex>$ como podemos ver $<tex>xy'+y</tex>$ resulta ser la derivada de $<tex>[xy]'</tex>$ , entonces podemos transcribir a la ecuacion diferencial como $<tex>[xy]'=x</tex>$ ahora la primitiva de $<tex>xy</tex>$ tiene que ser la $<tex>\int x dx </tex>$ , es decir:

$<tex>xy=\int xdx</tex>$ entonces $<tex>xy=\frac{x^2}{2} + c</tex>$ entonces nos queda q $<tex>y=\frac{\frac{x^2}{2}+c}{x}</tex>$ o bien $<tex>y=\frac{x}{2} + \frac{c}{x}</tex>$ ahora me dicen q la recta tangente de la solución hallada tiene que ser paralela a la recta de ecuacion $<tex>y-2x=3</tex>$ que la podemos transcribir como $<tex>y=2x+3</tex>$ en el punto $<tex>(1,y(1))</tex>$ , y para que sean paralelas, tiene que tener igual pendiente, en este caso $<tex>2</tex>$ , derivemos la solucion de la ecuacion diferencial:

$<tex>y'=\frac{1}{2} - \frac{c}{x^2}</tex>$ , ahora busquemos la pendiente de la recta tangente en el punto $<tex>(1,y(1))</tex>$ , donde aparecen las $<tex>x</tex>$ reemplazamos por $<tex>1</tex>$ y a la $<tex>y'</tex>$ por $<tex>2</tex>$ , es decir:

$<tex>2=\frac{1}{2} - c</tex>$ y nos queda q $<tex> c = -\frac{3}{2}</tex>$

por lo tanto la solucion de la ecuacion diferencial nos queda como $<tex>y=\frac{x}{2} -\frac{\frac{3}{2}}{x}</tex>$ , para ir redondeando el tema buscamos el valor de $<tex>y(1)</tex>$ :

$<tex>y(1)=\frac{1}{2} - \frac{3}{2}</tex>$ por lo tanto $<tex>y(1)=-1</tex>$ para finalizar:

La solucion de la ecuacion diferencial $<tex>y'=\frac{x-y}{x}</tex>$ cuya recta tangente sea paralela en el punto $<tex>(1,-1)</tex>$ a la recta $<tex>y-2x=3</tex>$ es:

$<tex>y=\frac{x}{2} -\frac{\frac{3}{2}}{x}</tex>$