Examen Final - 61.03.Análisis Matemático II A - 07/07/2008
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Discusión

2008

Día: 07/07/2008

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Calcular el área de la porción de cono $<tex>x^2 +y^2 = 2z^2</tex>$ , interior al cilindo parametrizado por $<tex>G(u,v)=(3+3cos(u); 3sen(u); v)</tex>$ , con: $<tex>0\leq u \leq 2 \pi</tex>$ , $<tex>0\leq v \leq 10</tex>$

Punto II

Hallar y clasificar los extremos de la función $<tex>F(x,y)= \frac{y}{2} - x^2</tex>$ en la región: $<tex>D=\{ (x,y)</tex>$ en $<tex>\mathbf{R}^2</tex>$ tales que: $<tex>y=x</tex>$ , $<tex>2x^2+y^2 \leq 3</tex>$ }

Punto III

Sean la curva $<tex>C: G(t)=(cos(t); sen(t); cos(t))</tex>$ con $<tex>0 \leq t \leq 2 \pi</tex>$ , y el campo $<tex> F \in C^1 (R^2)</tex>$ tal que: $<tex>Rot(F) = (z,0,1-y)</tex>$ . Calcular la circulación del campo $<tex>F</tex>$ a lo largo de $<tex> G(t)</tex>$ orientada de manera que su vector tangente en $<tex>(1,0,1)</tex>$ tenga coordenada positiva. Sugerencia: Exprese $<tex> C </tex>$ como intersección entre dos superficies.

Punto IV

Sea $<tex>F(x,y.z) = (4xy^2; 4z^2y ; 4zx^2 )</tex>$ . ¿Qué radio debe tener una esfera centrada en el origen para que el flujo de $<tex>F</tex>$ , hacia el exterior de dicha esfera, sea igual a 5 veces el volúmen de la misma?.

Punto V

Sea “sigma” la solución del problema de valor inicial: $<tex>[ x^3+xy^2 ] dx + [ x^2y + y^3 ] dy = 0</tex>$ ; siendo $<tex>y(0)=1</tex>$ . Calcular la circulación del campo: $<tex>F(x,y)=(-y+x^2 \cdot sen(x)^3 ; x + 3 y^2 )</tex>$ a lo largo de la curva “sigma” entre los puntos $<tex>P1=(0,1)</tex>$ y $<tex>P2=(0,-1)</tex>$ .

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