Examen Final - 61.03.Análisis Matemático II A - 06/08/2008

Tema: 1 Día: 06/08/2008

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Circulación sobre un rombo -1 ⇐ x-y <1>= x^2+y^2 ; x^2+y^2+z^2 <4>=0

Calcular la circulación del campo f(x,y)= (x, e^[(x-y)^2] ) a lo largo de la frontera D = {(x,y) en R2 / 1⇐ x+y ⇐ 4 -1⇐ x-y <1>= raíz cuadrada de (x2 + y2) y la esfera x2 + y2 + z2 ⇐4

Nos daban una función f desconocida que era Cn y nos decían - Que hacia extremo en el punto A - Que su polinomio de Taylor en el punto B era T = 1 + x - 2 (y^2) y nos pedían calcular la circulación de una G(x,y) = (fxx, fxy) sobre el segmento que une A con B (en sentido de A hacia B)

lo hice sin green calculando la circulacion directamente y me dio cero. Tube q hacer una sustitucion en 2 de las 4 integrales y cuando cambiaba los limites de integracion (2 veces me kedaron entre 1 y 1) buena parte de las cosas feas (las e a la no se q) se anulaban directamente sin integrarlas. Luego me kedaba una suma de fracciones entre ellas 1/2, 9/8, 21/16… recuerdo q use denmominador comun 16 para hacer la suma y dio cero.

plantie la de y=uv. saque factor comun u. Lo de adentro lo iguale a cero y el resto tbn. v me dio Kx y u algo mas feo. Al final me termino dando y=e a la x sobre x + C. Luego C=0.

Hayaba la normal al plano pi con el teorema de implicitas despejando la superficie y hayando el gradiente de eso. Despues ecuacion de plano: normal por generico igual a normal por el (1,1,1). Despues aplicaba teorema del rotor y ni idea q me dio.jjaja

Use coordenadas esfericas por supuesto y salio facil. fi entre 0 y 2 pi. tita entre 0 y pi sobre 4. ro entre cero y 2. la divergencia daba 3. y en total me quedo 8/3 . 3 . 2pi . ((raiz de 2 sobre 2) - 1). Re lindo.

El campo admitia funcion potencial. la busque y me daba f`x. Por otro lado f`x(A)=0 por q decia q la funcion tenia extremo en A. Y f`x(B)=1 deribando respecto a x el Taylor q me daban. Asi quedaba 1-0 = 1