Examen Final - 61.03. Análisis Matemático II A
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
  - Resolución
  - Punto I
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  - Punto IV

Examen Final - 61.03. Análisis Matemático II A

Día: 26/02/2008

Enunciado

Punto I

Calcular el volumen del cuerpo definido por:

$<tex>\left\{ \begin{array}{lll} x^2 + y^2 + z^2 \leq 4 \\ x^2 + z^2 \geq 2x \\ z \leq x \\ \end{array} \right.</tex>$ , en el primer octante.

Sea $<tex>f(x,y)=2-x^2-(y-1)^2</tex>$ una funcion, de manera que $<tex>\sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq f(x,y)</tex>$ define un cuerpo $<tex>V</tex>$ en $<tex>R^3</tex>$ . Demostrar que el volumen del cuerpo $<tex>V</tex>$ es la tercera parte del valor del flujo del vector posicion $<tex>r=(x,y,z)</tex>$ a traves de la superficie grafica de $<tex>f(x,y)</tex>$ con $<tex>\sqrt{x^2+y^2} \leq f(x,y) </tex>$ . Indique en un grafico el sentido de la normal elegida.

Punto III

Si $<tex>y=y(t)</tex>$ denota el número de habitantes de una población en función del tiempo,, se denomina tasa de crecimiento de la poblacion al cociente $<tex>\frac{y'}{y}</tex>$

*a* Graficar y(t) en el caso que la tasa de crecimiento sea constante

*b* Suponga que una poblacion tiene tasa de crecimiento constante. En un instante determinado $<tex>t_o</tex>$ la cantidad de individuos es de $<tex>1010</tex>$ mientras que $<tex>6</tex>$ meses mas tarde es de $<tex>1030</tex>$ ¿Cuantos individuos habria $<tex>11</tex>$ años despues del instante $<tex>t_o</tex>$ ?

Punto IV

Calcular la circulacion del campo $<tex>F(x,y,z) = (zx,z,\frac{y^2}{2} + z)</tex>$ a lo largo de la curva frontera de la superficie $<tex>x^2 + y^2 =2y</tex>$ con $<tex> 0 \leq z \leq 16-y^2 </tex>$ en el primer cuadrante. Indicar en el grafico la circulacion elegida

Punto V

Calcular el trabajo que realiza la fuerza $<tex>F(x,y,z) =(-zy^2sen(zx),2ycos(zx),-xy^2sen(zx)) </tex>$ para mover una particula a lo largo de la curva $<tex>C</tex>$ interseccion del cono $<tex>z= \sqrt{x^2 +(y-1)^2} </tex>$ con el plano $<tex> z = 16-x</tex>$ con $<tex>x \geq 0</tex>$

Resolución

Punto I

Paso a coordenadas cilíndricas:

$<tex>x = r.cos (t)</tex>$

$<tex>z = r.sen(t)</tex>$

Entonces en la inecuación de la esfera queda:

$<tex>r^2 + y^2 \le 4</tex>$

$<tex>y \le \pm \sqrt {4 - r^2 } </tex>$

No tomo el valor negativo ya que estamos trabajando en el prmer octante:

$<tex>0 \le y \le \sqrt {4 - r^2 } </tex>$

Ahora, la otra inecuación nos dice:

$<tex>r^2 \ge 2r.\cos (t)</tex>$

$<tex>r \ge 2\cos (t)</tex>$

el límite superior de $<tex> r </tex>$ será el radio de la esfera:

Por lo tanto:

$<tex>2\cos (t) \le r \le 2</tex>$

Por último, de la tercera inecuación tenemos:

$<tex>r.sen(t) \le r.\cos (t)</tex>$

$<tex>sen(t) \le \cos (t)</tex>$

$<tex>tg(t) \le 1</tex>$

$<tex>t \le \frac{\pi }{4}</tex>$

lo cual cumple de estar en el primer octante:

$<tex>0 \le t \le \frac{\pi }{4}</tex>$

Entonces el volumen se calcula como:

$<tex>V = \iiint\limits_V {1.dV}</tex>$

Como cambié de coordenadas cartesianas a cilíndricas, debo poner el jacobiano:

$<tex>V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\int\limits_{2\cos (t)}^2 {\int\limits_0^{\sqrt {4 - r^2 } } {r.dy.dr.dt} } } </tex>$

$<tex>V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\int\limits_{2.\cos (t)}^2 {r.(\sqrt {4 - r^2 } } } - 0).dr.dt</tex>$

Busco en tabla de integrales y resuelvo:

$<tex>V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} { - \frac{1}{3}} (\sqrt {4 - r^2 } )_{r = 2\cos (t)}^{r = 2} .dt</tex>$

$<tex>V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {0 + \frac{1}{3}} \sqrt {4 - (2\cos (t))^2 } .dt</tex>$

$<tex>V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {0 + \frac{1}{3}} \sqrt {4 - 4.\cos ^2 (t)} .dt</tex>$

Sacando factor común dentro de la raíz:

$<tex>V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {0 + \frac{1}{3}} \sqrt {4(1 - \cos ^2 (t))} .dt</tex>$

y sabiendo que $<tex>1 - \cos ^2 (t) = sen^2 (t)</tex>$

$<tex>V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {0 + \frac{1}{3}} \sqrt {4sen^2 (t)} .dt</tex>$

$<tex>V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {0 + \frac{1}{3}} 2.sen(t).dt</tex>$

$<tex>V = \frac{2}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {sen(t)} .dt</tex>$

$<tex>V = \frac{2}{3}.( - \cos (t))_{t = 0}^{t = \frac{\pi }{4}} </tex>$

$<tex>V = - \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{2}{3}</tex>$

$<tex>V = \frac{2}{3}.( - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1)</tex>$

Punto II

Planteamos la igualdad de Gauss:

$<tex> \int \int \int_{ \partial V}^{} div(r) \,dV = \int \int_{ \partial S}^{} r . \breve n \,dS </tex>$

$<tex> div(r) = 3 </tex>$

$<tex> 3. \int \int \int_{ \partial V}^{} 1 \,dV </tex>$ Bien sabemos que esto es 3 veces el volumen.

$<tex> 3. \int \int \int_{ \partial V}^{} 1 \,dV = \int \int_{ \partial S}^{} r . \breve n \,dS </tex>$

$<tex> 1/3 . \int \int_{ \partial S}^{} r . \breve n \,dS = \int \int \int_{ \partial V}^{} 1 \,dV \,dS </tex>$ Aqui se observa que el volumen es la tercera parte del flujo. El sentido de la normal es siempre saliente al cuerpo (por Teo. de Gauss) Ademas es un cuerpo cerrado :) — arielik 2008/02/29 13:03

discusión: se pide demostrar que el volumen es la tercera parte del flujo sobre f(x,y) -cuando haces Gauss el flujo que se considera es sobre toda la superficie del volumen, donde f(x,y) es solo una de las superficies del volumen, por tanto: $<tex> \partial S = f(x,y) + "otras-superficies" </tex>$ y habría que llegar a que el flujo de r sobre “otras superficies” es cero.

$<tex> \int \int_{ f(x,y)}^{} r . \breve n \,dS = 3 . \int \int \int_{ \partial V}^{} 1 \,dV \,dS - \int \int_{ "otras-superficies" }^{} r . \breve n \,dS </tex>$