Examen Final - 61.03. Análisis Matemático II A
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolucion
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V

Examen Final - 61.03. Análisis Matemático II A

Día: 12/02/2008

Sea $<tex>f : \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}^3 </tex>$ un campo vectorial $<tex>C^1</tex>$ y $<tex>C</tex>$ la curva parametrizada por: $<tex>\gamma(t) =(0,3.cos(t),3.sen(t))</tex>$ con $<tex> t \in [0,\pi]</tex>$ . Sabiendo que $<tex>\int_c f.ds = -36</tex>$ y que $<tex>rot(f(x,y,z)) = (-y,2z,1)</tex>$ , calcular la integral de linea de $<tex>f</tex>$ a lo largo del eje $<tex>y</tex>$ desde $<tex>(0,-3,0)</tex>$ hasta $<tex>(0,3,0)</tex>$ .

Punto II

Sean el campo vectorial $<tex>f(x,y,z) = (2x,2y-2,2z)</tex>$ y $<tex>S</tex>$ la superficie de potencial 5 del campo $<tex>f</tex>$ que pasa por $<tex>(2,1,1)</tex>$ . Calcular el flujo de $<tex>f</tex>$ a traves de $<tex>S</tex>$ .

Punto III

Calcular la masa del cuerpo definido por: $<tex>\left\{ \begin{array}{lll} y \geq x^2 \\ y+z \leq 4 \\ z \geq 0 \\ \end{array} \right.</tex>$ , si la densidad en cada punto es proporcional al producto de las distancias a los planos $<tex>xz</tex>$ e $<tex>yz</tex>$ .

Punto IV

Sea el campo vectorial $<tex>f(x,y,z)=(2y,1,y.\phi(y,z))</tex>$ siendo $<tex>\phi(y,z)</tex>$ una funcion $<tex>C^1</tex>$ . Calcular el flujo de $<tex>f</tex>$ a traves de la superficie de ecuacion $<tex>x=1-y^2</tex>$ con $<tex>z \leq 2 -x^2-y^2</tex>$ en el primer octante. Indique en un grafico la orientacion del vector normal que ha elegido

Punto V

Hallar la curva plana que pasa por $<tex>(1,4)</tex>$ y satisface que en cada punto de cordenadas $<tex>(x,y)</tex>$ la recta tangente se interseca con el eje $<tex>y</tex>$ en un punto de ordenada $<tex>3y</tex>$

Resolucion

Punto I

No tenemos el campo vectorial, entonces aprovechamos el dato del rotor y aplicamos el teorema de Stokes.

$<tex>\int\int_s Rot(F)\, dS = \int_c F \, ds + \int_{c2} F \, ds</tex>$

Parametrizo la superficie encerrada por la semicircunferencia y la recta:

$<tex>S(y,z) =(0,y,z), -3 \leq y \leq 3,\, 0 \leq z \leq 3</tex>$

Saco la normal:

$<tex> N = S'_y \times S'_z = (1,0,0) </tex>$

Como la normal es acorde a la circulacion, entonces se le deja el signo igual.

$<tex>\int\int_s Rot(F)\, dS = \int\int_s (-y,2z,1).(1,0,0)\, dS </tex>$

$<tex>\int_0^3\int_{-3}^3 -y \, dy dx = 0</tex>$

$<tex>\Rightarrow 0 = \int_c F \, ds + \int_{c2} F \, ds </tex>$

El enunciado nos da el dato : $<tex> \int_c F \, ds = -36 </tex>$

$<tex>\Rightarrow \int_{c2} F \, ds = 36 </tex>$

Punto II

Hay que buscar el potencial de $<tex>F(x,y,z)=(2x,2y-2,2z)</tex>$

$<tex> \int 2x \, dx = x^2 + C(y,z) \Rightarrow \phi (x,y) = x^2 + C(y,z)</tex>$

$<tex> \frac{\partial \phi}{\partial y} = C'(y) = 2y -2 \Rightarrow \int 2y -1 \, dy = y^2 - 2y +C(z) </tex>$ $<tex> \Rightarrow \phi (x,y) = x^2 +y^2 -2y + C(z)</tex>$ $<tex> \Rightarrow \frac{\partial \phi}{\partial z} = C'(z) = 2z \Rightarrow C(z) = z^2 </tex>$

$<tex> \Rightarrow \phi (x,y) = x^2 +y^2 -2y + z^2 + C</tex>$

Nos dicen que tiene que pasar por el punto $<tex> (2,1,1) </tex>$

$<tex> x^2 + y ^2 - 2y + z^2 + C = 5 \Rightarrow C = 1 </tex>$

Entonces el equipotencial 5 nos queda:

$<tex> x^2 + (y-1)^2 + z^2 = 5 </tex>$ , Una esfera de radio $<tex>\sqrt{5}</tex>$

Por el teorema de la divergencia sabemos:

$<tex>\int\int\int_V Div(F)\, dV = \int\int_S F \, dS </tex>$

$<tex>Div(F) = 6 </tex>$

$<tex> 6 \int\int\int_V 1\, dV </tex>$

Como sabemos que la integral triple de 1 nos da el volumen, podemos utilizar la formula de volumen de la esfera:

$<tex> V_{esf} = \frac{4 \pi}{3}r^3 </tex>$

$<tex> V_{esf} = \frac{4 \pi}{3} \sqrt{125} </tex>$

$<tex> \Rightarrow \int\int_S F \, dS = 8 \pi \sqrt{125} </tex>$

Punto III

La figura que se forma es una canaleta que se extiende en el eje $<tex>z</tex>$ acotada por los planos $<tex>z =0</tex>$ y $<tex>z = 4-y </tex>$ :

$<tex> 0 \leq z \leq 4 - y </tex>$

$<tex> x^2 \leq y \leq 4 </tex>$

$<tex> -2 \leq x \leq 2 </tex>$

El enunciado nos dice que la densidad es:

$<tex>\delta = k|x||y| </tex>$

Son muy importante los modulos, sino el resultado da cero. Planteamos la integral triple:

$<tex>\int_{-2}^{2} \int_{x^2}^{4} \int_{0}^{4-y} k|x||y| \, dz dy dx </tex>$

$<tex>k\int_{-2}^{2} \int_{x^2}^{4} |x||y|(4-y) \, dy dx </tex>$

Como $<tex> y </tex>$ toma siempre valores positivos, puedo sacarle el modulo:

$<tex> k\int_{-2}^{2} \int_{x^2}^{4} 4|x|y -|x|y^2 \, dy dx </tex>$

$<tex> k\int_{-2}^{2} 32|x| -2|x|x^4 - \frac{64}{3}|x| + \frac{1}{3}|x|x^6 \, dx </tex>$

Para sacar el modulo vamos a tener que dividir la integral en dos partes:

$<tex> k \int_{0}^{2} 32x -2x^5 - \frac{64}{3} x + \frac{1}{3} x^7 \, dx + k \int_{-2}^{0} -32x + 2x^5 + \frac{64}{3} x - \frac{1}{3} x^7 </tex>$

Haciendo las cuentas el resultado que nos da es :

$<tex>\int\int \int \delta \, dV = \frac{64}{3}k </tex>$

Punto IV

Parametrizo la superficie:

$<tex>S(y,z)=(1-y^2,y,z)</tex>$

$<tex> 0 \leq z \leq 1 + y^2 - y^4</tex>$

$<tex> 0 \leq y \leq 1 </tex>$

Busco la normal:

$<tex> N = S'_y \times S'_z = (-2y,1,0) \times (0,0,1) = (1,2y,0) </tex>$

Calculo el flujo:

$<tex> \int\int_S F(S).n \, ds </tex>$

$<tex> \int_0^1\int_0^{1 + y^2 - y^4} (2y,1,y.\phi(y,z)).(1,2y,0) \, dzdy </tex>$

$<tex> \int_0^1\int_0^{1 + y^2 - y^4} 4y \, dzdy </tex>$

$<tex> \int_0^1 4y(1 + y^2 - y^4) dy </tex>$

$<tex> \int_0^1 4y + 4y^3 -4y^5 dy = 7/3 </tex>$

entonces:

$<tex> \int\int_S F(S).n \, ds = 7/3</tex>$

Punto V

$<tex>y' = m = \frac{3y-y}{0-x} = - \frac{2y}{x}</tex>$

$<tex>y' = - \frac{2y}{x} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{2y}{x}</tex>$

$<tex>\Rightarrow \frac{1}{2y} dy = -\frac{1}{x}dx \Rightarrow \int \frac{1}{2y} dy = \int -\frac{1}{x}dx </tex>$

$<tex>\Rightarrow \frac{ln(y)}{2} = - ln(x) + C \Rightarrow e^{ln(y)} = e^{-2ln(x) + 2c} = K.e^{ln(x^{-2})}</tex>$

$<tex>\Rightarrow y = K.x^{-2}</tex>$

Ahora buscamos la solucion particular, reemplazo $<tex>y</tex>$ por $<tex>4</tex>$ y $<tex>x</tex>$ por $<tex> 1</tex>$ , y busco $<tex>K</tex>$

$<tex>4 = 1.K \Rightarrow K = 4 </tex>$