Examen Final - 61.03 Análisis Matemático II
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V

Examen Final - 61.03 Análisis Matemático II

Fecha: 3º Oportunidad - (1º Cuatrimestre Invierno) 2007
Día: 19/07/2007

Enunciado

Punto I

Se sabe que el campo vectorial $<tex>F(x,y) = (x^2y + e^y, Q(x,y)) \in C^1</tex>$ en $<tex>D \subseteq R2</tex>$ , siendo D la region definida en coordenadas polares por las siguientes ecuaciones:

$<tex> \frac {\pi}{6} \leq \theta \leq \frac {\pi}{3}</tex>$
$<tex> 0 \leq \rho \leq 2</tex>$

cuya frontera es la curva simple cerrada C. Justificar como debe elegirse $<tex>Q(x,y)</tex>$ para que las circulaciones de $<tex>F(x,y)</tex>$ a lo largo de la curva $<tex>C^+</tex>$ coincidan con el area de D.

Punto II

Calcular el flujo de $<tex>\bigtriangledown \times F (x,y,z) = (5x + sen(y), -4y + cos(z), -z)</tex>$ a traves de la superficie $<tex>x^2 + y^2 + (z-5)^2 = 32</tex>$ , con $<tex>z \geq 1</tex>$ . Considere la normal con componente z positiva.

Punto III

Calcular la coordenada “y” del centro de masa de la placa de densidad 1 limitada por las curvas $<tex>\mid x-1 \mid + y = 0</tex>$ ; $<tex>x^2 + y^2 = 1</tex>$ .

Punto IV

(a) Sea $<tex>f: R^3 \to R</tex>$ dada por $<tex>f(x,y,z) = g(r)</tex>$ donde $<tex>r = (x,y,z)</tex>$ , $<tex>r = \mid r \mid</tex>$ y $<tex>g:R \to R</tex>$ diferenciable. Calcule el flujo de $<tex>\bigtriangledown f</tex>$ a traves de la porcion de cono $<tex>z = (x^2 + y^2)^{\frac {1}{2}}</tex>$ encerrada en el interior del cilindro de ecuación $<tex>(x+3)^2+(y-2)^2=1/4</tex>$ .

(b) Hallar las curvas planas tales que la recta normal en todo punto pasa por el origen

Punto V

Demuestre que el flujo de $<tex>F(x,y,z) = ( 5x + ye^z, Q (x,z) , z)</tex>$ a traves del trozo de esfera de ecuación $<tex>x^2 + y^2 + z^2 = 13</tex>$ con $<tex>z \geq 2</tex>$ no depende de la funcion $<tex>Q(x,z)</tex>$ . Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie y otras hipótesis que deberia considerar.