Examen Final - 61.03. Análisis Matemático II A
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Examen Final - 61.03. Análisis Matemático II A

Cátedra: Todas
Fecha: 2da Oportunidad - 2do Cuatrimestre 2005
Día: 13/12/2005

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Enunciado

Sea $<tex>F(x,y,z)=(xf'(z),yf'(z),zf(z))</tex>$ donde $<tex>f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}</tex>$ $<tex>f \in C^2</tex>$ tal que $<tex>f(1)=4</tex>$ y $<tex>f(0)=-1</tex>$ .
Calcular el flujo de $<tex>F</tex>$ a través de la superficie desripta por $<tex>x^2 + y^2 = 4</tex>$ , $<tex>0 \leq z \leq 1</tex>$ , con la normal alejándose del eje $<tex>z</tex>$ .
Siendo $<tex>Q:\mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}</tex>$ $<tex>Q \in C^2</tex>$ . Calcular el flujo del rotor del campo $<tex>F(x,y,z)=(xz,3y,Q(x,z))</tex>$ a través de la semiesfera $<tex>x^2+y^2+z^2=4</tex>$ , $<tex>z>0</tex>$ con la normal de cordenada $<tex>z \geq 0</tex>$ .
Sea $<tex>F(x,y,z)=(x,1,3az)</tex>$ . Hallar $<tex>a</tex>$ de manera que el flujo de $<tex>F</tex>$ a través de $<tex>x^2+z^2=4</tex>$ , $<tex>0 \leq y \leq 2</tex>$ orientada de manera que su normal se aleje del eje $<tex>y</tex>$ , sea $<tex>2</tex>$ .
Responder a cada uno de los siguientes problemas, justificando brevemente su respuesta:
1. Sea el campo $<tex>F(x,y,z)=(4x^2,0,0)</tex>$ . Hallar una esfera que contenga al origen de manera que el flujo de $<tex>F</tex>$ hacia el exterior de la esfera no sea $<tex>0</tex>$ .
2. Hallar $<tex>a>0</tex>$ para que la mínima distancia al origen de la curva de ecuación $<tex>a^2 x^2+y^2=1</tex>$ sea $<tex>\frac{1}{4}</tex>$ .
Hallar $<tex>a \in \mathbf{R}</tex>$ e $<tex>y(t)</tex>$ sabiendo que $<tex>y'(t)=a(t-1)y(t)</tex>$ y que la recta tangente al gráfico de $<tex>y(t)</tex>$ en $<tex>(0,y(0))</tex>$ tiene ecuación $<tex>y=4t+1</tex>$ .
Hallar el volumen de la región del espacio descripta por $<tex>2 \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 12</tex>$ , $<tex>x^2+y^2+(z+15)^2 \geq 45</tex>$ .

Resolución

Punto I

La región a través de la cual se pretende calcular el flujo es un trozo de cilindro como el que muestra la figura:

Chimento: Cualquier intento de aplicar el teorema de Gauss (o Teorema de la Divergencia) nos va a fallar. Nos va a quedar una f(z) que nunca nos vamos a poder sacar de encima.

Aprovechando el chimento anterior, optamos por calcular ese flujo “manualmente”. Para ello, parametrizamos la superficie. Por tratarse de una figura cilíndrica muy “generosa” (es decir, está centrada en el origen y no da problemas), ni dudamos en parametrizar utilizando coordenadas cilíndricas. El resultado de la parametrización es el siguiente:

$<tex> F(\rho,z) = (2\cos(\rho),2\sin(\rho),z) \ con \ 0 \leq z \leq 1, \ 0 \leq \rho \leq 2\pi</tex>$

Entonces:

$<tex>\overrightarrow{F'_\rho} = (-2\sin(\rho),2\cos(\rho),0)</tex>$

$<tex>\overrightarrow{F'_z} = (0,0,1)</tex>$

Con lo cual:

$<tex>\overrightarrow{F'_\rho} X \overrightarrow{F'_z} = \left| \begin{array}{ccc}\widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k}\\-2\sin(\rho) & 2\cos(\rho) & 0\\0 & 0 & 1\end{array} \right| = (2\cos(\rho),2\sin(\rho),0)</tex>$

Es cuestión de hacer algunas pruebas con el resultado anterior, dándole valores a $<tex>\rho</tex>$ , para ver que el normal de esa superficie resulta saliente; es decir, se “aleja” del eje z, tal como pide el enunciado.

Ya podemos ir armando el “paquete” a integrar. Empezamos con la composición de la superficie con el campo vectorial:

$<tex>\overrightarrow{f}(\overrightarrow{F}(\rho,z)) =\left( \underbrace{2\cos(\rho)}_x \cdot f'(z), \underbrace{2\sin(\rho)}_y \cdot f'(z), zf'(z) \right)</tex>$

Expresar el producto interno de esa composición con el normal de la superficie en la integral resulta en una expresión muy larga. Directamente ponemos la cuenta:

$<tex>\mathop{\int \!\!\! \int}_{\Sigma}\overrightarrow{f}\widehat{n}d\sigma = \mathop{\int \!\!\! \int}_{D}(4\cos^2(\rho)\cdot f'(z) + 4\sin^2(\rho) \cdot f'(z))\cdot d\rho \cdot dz </tex>$

Operando:

$<tex>\mathop{\int \!\!\! \int}_{D}4 \cdot f'(z) \cdot \underbrace{(\cos^{2}(\rho) + \sin^{2}(\rho))}_1 \cdot d\rho \cdot dz = 4 \cdot \mathop{\int \!\!\! \int}_{D} f'(z) \cdot d\rho \cdot dz </tex>$

Finalmente, con los límites de integración:

$<tex> 4 \cdot \int_0^{2 \pi} d \rho \int_0^1 f'(z) \cdot dz = 4 \cdot \int_0^{2 \pi} d \rho \cdot \Big[ f(z) \Big]_0^1 </tex>$

Usando los datos del enunciado:

$<tex> \Big[ f(z) \Big]_0^1 = f(1) \ - \ f(0) = 4 \ - \ (-1) = 5 </tex>$

Con lo cual:

$<tex> 4 \cdot 5 \cdot \int_0^{2 \pi} d \rho = 20 \cdot \int_0^{2 \pi} d \rho = \ $\fbox{40$\pi$}$ </tex>$